Разыгрывание сл. в. методом Монте-Карло

[reader_st]

Известны, лично мне, методы разыгрывания сл. в. по методы Монте-Карло, в случае если задано (или можно найти) дискретное распределение сл.в. или ее функция плотности вероятности с известными параметрами.
А вот столкнулся с нестандартным дискретным вероятностным распределением.
Сл. в. задана вот так

$$ \begin{array}{ccccc} X & [a_1,b_1],&[a_2,b_2],& \ldots & [a_n,b_n]\\ P & p_1,&p_2,& \ldots & p_n\\ \end{array} $$

т.е. сл. в. задана на интервалах и известны вероятности для каждого интервала. Необходимо разыграть данную сл. вел. Вариант с серединами интервалов я уже просмотрел, также пробывал вариант с заданием на каждом интервале функции плотности.

Может кто сталкивался с подобными задачами? Есть ли пакеты для подобных разыгрыванией, кроме Excel?

[seabeer]

т.е. с вероятностью

\[p_k \]

выпадает величина из интервала

\[\left[ {a_k ,b_k } \right]\]

? Если да, то как распределена случайная величина внутри интервала?

[reader_st]

seabeer

Совершенно справедливо.
На конкретном отрезке распределение сл. в. неизвестно. Даже если прдположить, что это распределение нормальное или равномерное, то параметры все равно неизвестны.
У меня бы идея сначала разыгрывать интервал, а потом внутри интервала, но много неизвестных, а если делать априорные оценки параметров, то точность уменьшиться.

[juna]

В ситуации полной неопределенности, обычно принимают равномерный закон распределения.
Не знаю, что Вас смутило моделировать в два этапа.
1. Единичный отрезок разбиваем на $n$ частей, длины которых пропорциональны $p_i$.
2. Генерируем случайную величину по равномерному закону на отрезке $[0,1]$ и смотрим в какую из $n$ частей попали, например, в $j$
3. Генерируем по равномерному закону случайную величину на отрезке $[a_j,b_j]$

Можно и универсальный алгоритм генерации случайной величины с заданным законом распределения предложить.
См. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.,1978.

[reader_st]

Артамонов Ю.Н.

Если я Вам правильно понял, то в результате проведения всех трех пунктов я получу дискретное распределение сл. в. в виде

$$ \begin{array}{ccccс} X & x_1& x_2 & \ldots & x_n\\ P & p_1& p_2 & \ldots & p_n\\ \end{array} $$

где

$$x_i$$

случайная величина сгенерированная в соответствие с равномерным законом (на третьем этапе),

$$p_i$$

исходные значения вероятностей для заданных

$$i$$

-тых интервалов.
А затем полученное распределение разыгрываем стандартно по Монте-Карло.

Я пробывал так разыгрывать, но только на каждом отрезке задавал функции плотности распределения и его параметры.

Относительно генерации сл. величин с заданным законом распределения: я читал работы Бусленко и Соболя, там предложены алгоритмы --- это верно, но вот намеднись нашел в Maple функцию, которая генериет сл. в. с заданным законом распределения и его параметрами.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

2. Генерируем случайную величину по равномерному закону на отрезке $[0,1]$ и смотрим в какую из $n$ частей попали, например, в $j$
3. Генерируем по равномерному закону случайную величину на отрезке $[a_j,b_j]$

Простите, коли не понял чего, но зачем второй раз генерировать-то?
Пусть мы сгенерировали $\xi$, и она попала в $j$ интервал, то есть $\sum\limits_{k}^{j-1} p_k \leq \xi < \sum\limits_{k}^{j} p_k$. Тогда наша любовь записывается просто: $a_j + \frac{b_j-a_j}{p_j}(\xi-\sum\limits_{k}^{j-1} p_k)$

На самом-то деле, самая дорогая (вычислительно) операция в этой игре — это определение интервала, в который попадает $\xi$.

[reader_st]

незваный гость

Второй раз мы генерировали, чтобы выяснить значение сл. в.

$$X$$

на отрезке

$$[a_j,b_j]$$

.

Извините, а вот что Вы подразумеваете под

$$a_j+\dfrac{b_j-a_j}{p_j}(\xi-\sum\limits_{k}^{j-1}p_k)$$

я, честно сказать, не понял.

[PAV]

Имеется в виду, что если $j$-й интервал имел вид $[a',b']$, то его можно линейным преобразованием перевести в интервал $[a_j,b_j]$ и мы сразу получим значение требуемой величины. Мы же при первом разыгрывании не использовали точное значение $\xi$, а только то, в какой интервал она попала.

[reader_st]

Извиняюсь, но только нашел у Бусленко, что

"случайное число

$$y_i$$

с требуемым законом распределения вычисляется по формуле"

$$y_i=a_{i-1}+\xi_i(a_i-a_{i-1})$$

.

Тогда

$$\dfrac{(\xi_i-\sum\limits_{k}^{j-1}p_k)}{p_j}$$

нормировка что ли?

[незваный гость]

2 PAV Да. То есть, я использую остаток информации в $\xi$.

Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд:

reader_st писал(а):

нормировка что ли?

Да, нормировка.

[PAV]

А в чем смысл данной задачи? Все пытаюсь понять, зачем может понадобится моделировать случайную величину, закон распределения которой неизвестен. Можно ведь помимо равномерного использовать еще массу других законов. Бета-распределение, например, (параметрическое семейство) дает достаточно широкий диапазон распредедлений на отрезке (включая и равномерное, кстати). Допустим, мы сделали два способа моделирования с разными законами. Есть ли в задаче какой-то способ определить, какой из этих способов нам лучше подходит?

[reader_st]

PAV

Смысл этой задачи в слудеющем: найти мат. ожидание сл. в.

$$X$$

заданной на интервале

$$[A;B]$$

.

Относительно закона распределения:
я выше писал, что мне нужно обойти именно это место (незнание закона распределения). Лично я для этого выбрал вот такой способ (разыгрывание сл. в., имеющих дискретное распределение).

Относительно законов, согласен, что на каждом отрезке, когда я разобью исходный отрезок

$$[A;B]$$

на

$$[a_j;b_j]$$

то лучше бы знать распределение на каждом из отрезков

$$[a_j;b_j]$$

, но увы, параметров, как Вы понимаете нужно еще больше.

Относительно моделирования с разными законами: здесь нужно думать. Задача-то практическая, можно поэкспериментировать.

[juna]

незваный гость писал(а):

:evil:

Артамонов Ю.Н. писал(а):

2. Генерируем случайную величину по равномерному закону на отрезке $[0,1]$ и смотрим в какую из $n$ частей попали, например, в $j$
3. Генерируем по равномерному закону случайную величину на отрезке $[a_j,b_j]$

Простите, коли не понял чего, но зачем второй раз генерировать-то?
Пусть мы сгенерировали $\xi$, и она попала в $j$ интервал, то есть $\sum\limits_{k}^{j-1} p_k \leq \xi < \sum\limits_{k}^{j} p_k$. Тогда наша любовь записывается просто: $a_j + \frac{b_j-a_j}{p_j}(\xi-\sum\limits_{k}^{j-1} p_k)$

На самом-то деле, самая дорогая (вычислительно) операция в этой игре — это определение интервала, в который попадает $\xi$.

Да. Можно и сократить наполовину.
reader_st
Правильно ли я понял? Есть большой интервал $[A,B]$, внутри которого томится случайная величина с неизвестным распределением. Нам нужно оценить мат. ожидание.
Оценка производится экспертами, которым сложно говорить за весь интервал, но если его разбить на неперекрываемые интервалы, то они могут оценить вероятности появления этой случайной величины в каждом из интервалов.

[PAV]

Все равно странная задача. Честно признаюсь, что не понял ее смысла и имею сильные сомнения в том, что то, что делается - корректно.

Если мы зададим какие-то законы распределения на маленьких интервалах, то математическое ожидание можно посчитать точно. Для разных законов распределения будут разные значения. Так что я не понимаю, что Вы пытаетесь оценить.

Я бы еще понял, если бы моделирование случайной величины производилось бы некоторой внешней системой, параметры которой Вам неизвестны. Тогда это нормальная статистическая задача. А если Вы моделируете сами... Зададите один закон - получите один ответ. Другой закон - другой ответ. В чем смысл - не могу понять...

[juna]

При привлечении экспертов вообще о строгой корректности речь идти не может. А распределение внутри каждого интервала, мне кажется, следует считать все-таки равномерным. Если у экспертов, есть какие-то приоритеты на интервале, его просто нужно дробить далее, до получения равной вероятности внутри каждого.
Так вот задача теперь и стоит, как я понял, определить мат. ожидание методом статистических испытаний.