Задача об игре

[Ktina]

Два игрока по очереди заменяют по одной звёздочке в выражении $*n^8*n^7*\dots*n^2*n$ знаком “+” или “-”. Второй игрок выигрывает, если после его последнего хода получается выражение, значение которого при всех натуральных n кратно 6. Кто выиграет при правильной игре?
(фестиваль "Орлёнок")

8 делится на 4, посему ясно, что выигрывает второй. Для этого ему надо разбить все звёздочки на пары:
(1, 3), (2, 4), (5, 7) и (6, 8).
Число и его куб сравнимы по модулю 6.
Аналогично, квадрат и 4-ая степень, а также 5-я с 7-ой и 6-я с 8-ой.
Поэтому второму игроку достаточно после каждого хода первого ставить противоположный знак в "парную" звёздочку.
Если я ничего не напутала, это решение верно.

Меня интересует другое - а что, если 8 заменить числом, не кратным 4? На пары тогда не разобьёшь. Как решать в таком случае?

[MrDindows]

Если нечётное количество, то выигрывает первый, (достаточно взять n=1)

Если 4k+2 чисел, то опять выигрывает первый.
Допустим n=1. Тогда наша последовательность :
1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
Если n=5, то наша последовательность:
-1 1 -1 1 -1 1 ... -1 1 -1 1.
Первый ходит любым ходом, например возле первого числа ставит +.

Далее,
1. Если второй возле любой единицы ставит тоже плюс, то первый начинает парную стратегию по верхней последовательности, так чтоб в каждой паре получились знаки плюс и минус. (в конце остаток этого числа при делении на 6 будет 2)
2. Если же второй ставит минус, и этот минус выпал на единицу (1) во второй последовательности, то опять парная стратегия по нижней последовательности, в каждой паре теперь должны быть одинаковые знаки.
3. Если же второй ставит минус возле (-1) из второй последовательности, то первый должен поставить плюс возле (-1) из второй последовательности, тем самым мы вернёмся в начало нашего цикла. Но это не сможет происходить бесконечно, так как во второй последовательности у нас всего (2k+1) "минус-единиц", то бишь нечётное число, и рано или поздно второму придётся походить как в пунктах 2 или 3, и соответственно первый игрок победит.