2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача об игре
Сообщение11.02.2012, 20:06 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Два игрока по очереди заменяют по одной звёздочке в выражении $*n^8*n^7*\dots*n^2*n$ знаком “+” или “-”. Второй игрок выигрывает, если после его последнего хода получается выражение, значение которого при всех натуральных n кратно 6. Кто выиграет при правильной игре?
(фестиваль "Орлёнок")

8 делится на 4, посему ясно, что выигрывает второй. Для этого ему надо разбить все звёздочки на пары:
(1, 3), (2, 4), (5, 7) и (6, 8).
Число и его куб сравнимы по модулю 6.
Аналогично, квадрат и 4-ая степень, а также 5-я с 7-ой и 6-я с 8-ой.
Поэтому второму игроку достаточно после каждого хода первого ставить противоположный знак в "парную" звёздочку.
Если я ничего не напутала, это решение верно.

Меня интересует другое - а что, если 8 заменить числом, не кратным 4? На пары тогда не разобьёшь. Как решать в таком случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача об игре
Сообщение11.02.2012, 20:58 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Если нечётное количество, то выигрывает первый, (достаточно взять n=1)

Если 4k+2 чисел, то опять выигрывает первый.
Допустим n=1. Тогда наша последовательность :
1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
Если n=5, то наша последовательность:
-1 1 -1 1 -1 1 ... -1 1 -1 1.
Первый ходит любым ходом, например возле первого числа ставит +.

Далее,
1. Если второй возле любой единицы ставит тоже плюс, то первый начинает парную стратегию по верхней последовательности, так чтоб в каждой паре получились знаки плюс и минус. (в конце остаток этого числа при делении на 6 будет 2)
2. Если же второй ставит минус, и этот минус выпал на единицу (1) во второй последовательности, то опять парная стратегия по нижней последовательности, в каждой паре теперь должны быть одинаковые знаки.
3. Если же второй ставит минус возле (-1) из второй последовательности, то первый должен поставить плюс возле (-1) из второй последовательности, тем самым мы вернёмся в начало нашего цикла. Но это не сможет происходить бесконечно, так как во второй последовательности у нас всего (2k+1) "минус-единиц", то бишь нечётное число, и рано или поздно второму придётся походить как в пунктах 2 или 3, и соответственно первый игрок победит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group