Найти значение функции

[confabulez]

Добрый день.

Известно, что функция $f(n)$ принимает натуральные значения и для любых $m, n \in \mathbb{N}$ $f(m+n)=f(m)+f(n)$ или $f(m+n)=f(m)+f(n)+1$. Также известно, что $f(9999)=3333$. Найти $f(2011)$.

Единственное, что удалось понять, это $f(1)=0$ и $f(2)=0$ ( использовал оценку снизу и то, что $f(2n)=2f(n)$ или $f(2n)=2f(n)+1$). Очень смущает неопределенность для $f(m+n)$.

Подскажите, пожалуйста, идею решения подобных задач.

[Doil-byle]

Здесь нужно делить постепенно аргумент на равные части и проверять возможность того или иного возврата значения функцией. Ограничение накладывается делимостью. Например, $ f(9999)=f(6666) + f(3333) = 3f(3333), f(3333)=1111 $ Если раскладывать функцию иначе, то её значения не могут быть целыми. Так вот её и надо "повертеть".

[confabulez]

Спасибо за идею. У меня получились следующие значения при понижении аргумента:
$f(3333)=1111$, $f(1111)=370$, $f(370)=123$,$f(123)=41$, $f(40)=13$,$f(13)=4$ и $f(4)=1$. Теперь из этих кубиков мне надо насобирать $f(2011)$.
Но здесь не получается избавиться от неоднозначности. Например, что выбрать из двух выражений $f(2011)=f(900)+f(1111)$ или $f(2011)=f(900)+f(1111)+1$?

[ewert]

confabulez в сообщении #536679 писал(а):

Известно, что функция $f(n)$ принимает натуральные значения

Что понимается под "натуральными значениями"?

[confabulez]

ewert писал(а):

Что понимается под "натуральными значениями"?

Тут я немного ошибся. Имелось в виду, что для $n \in \math{N}$, $f(n) \in \math{N}$ или $f(n)=0$. Например, $f(1)=f(2)=0$.

[Sender]

Вот это может помочь:
$kf(n)\leqslant f(kn)\leqslant kf(n)+(k-1)\Rightarrow \frac{ f(kn)-(k-1)}{k}\leqslant f(n)\leqslant \frac{ f(kn)}{k}\Rightarrow \left \lceil\frac{ f(kn)-(k-1)}{k}\right \rceil\leqslant f(n)\leqslant \left \lfloor \frac{ f(kn)}{k}\right \rfloor\Rightarrow\left \lfloor \frac{ f(kn)}{k}\right \rfloor\leqslant f(n)\leqslant \left \lfloor \frac{ f(kn)}{k}\right \rfloor\Rightarrow $
$f(n)=\left \lfloor \frac{ f(kn)}{k}\right \rfloor.$
Например, $f(2000)=\left \lfloor \frac{ f(10000)}{5}\right \rfloor.$

[Doil-byle]

Помочь может то, что легко показать, что условиям удовлетворяет функция $f(x)= \lfloor \frac{x}{3} \rfloor$. $f(2011)=670.$

[mihiv]

Можно показать,что $f(3)=1$,отсюда следует,что $f(3k)=k$.
Покажем,что $f(3k+1)=f(3k)=k$.Действительно $f(3k+1)\leq f(3k)+f(1)+1=k+1$,а так как $f(3k+1)\geq f(3k)$,то $f(3k+1)=k$ или $k+1$.
Предположим,что для некоторого $k,f(3k+1)=k+1$.
Рассмотрим неравенства:$f(6k+2)\leq f(6k)+f(2)+1=2k+1$,с другой стороны $f(6k+2)\geq 2f(3k+1)=2(k+1)$(согласно предположению),получили противоречие,следовательно,$f(3k+1)=f(3k)=k.f(2011)=f(3\cdot 670+1)=670$

[confabulez]

Спасибо всем большое.