отличие декартова и прямого произведений (группы)

[Joker_vD]

bot в сообщении #536391 писал(а):

В полугруппах, квазигруппах понятие прямого произведения отсутствует.

Назовем прямым произведением полугрупп $(X,\cdot)$ и $(Y,\circ)$ полугруппу $(X\times Y,*)$ с операцией $(x_1,y_1)*(x_2,y_2)\stackrel{def}{=}(x_1\cdot x_2, y_1\circ y_2)$... почему нельзя так определить?

Или совсем уж общо: пусть у нас $X_i$, $i \in I$ — семейство алгебраических систем с общей сигнатурой. Определим их (полное) прямое произведение $\prod\limits_{i\in I} X_i$ как множество $\{f\colon I\to \bigcup\limits_{i\in I} X_i\mid f(i)\in X_i\}$ и превратим его в алгебраическую систему таким образом: если $\omega$ — $n$-арная операция, $f_1,\dots,f_n\in \prod\limits_{i\in I} X_i$, то $\omega(f_1,\dots,f_n)$ определяется через $(\omega(f_1,\dots,f_n))(i)=\omega(f_1(i),\dots,f_n(i))$; предикат $P(f_1,\dots,f_n)$ дает истину, если и только если $P(f_1(i),\dots,f_n(i))$ дает истину для любого $i\in I$. Вот и все, вот и прямое произведение, у него такая же сигнатура, как у любого исходного $X_i$.

Ладно, фиг с ними, с произведениями. Что такое "декартова сумма"?

[bot]

Joker_vD в сообщении #536395 писал(а):

почему нельзя так определить?

Можно - я имел в виду для бесконечного числа экземпляров. А то, что Вы определили как (полное) прямое произведение, я называю декартовым и может быть, как уже говорил, употреблялся термин полное прямое произведение, чтобы отличить от просто прямого.

Декартова сумма - это ровно то же самое, что и декартово произведение для случая, когда в сигнатуре есть операция сложения. Вот возьмём декартову счётную степень двухэлементной группы $\langle \{1,-1\} , \cdot \rangle $. Стоит лишь перейти от мультипликативной записи к аддитивной сменив группу на изоморфную копию $\langle \mathbb Z_2 , + \rangle $, так это декартово произведение становится декартовой суммой. Аналогичная фигня с прямым произведением и прямой суммой.

-- Ср фев 08, 2012 21:06:43 --

Да, вот такой пример будет всем понятен:
Множество полиномов с целыми коэффициентами от одной переменной относительно операции сложения - это прямая сумма бесконечных циклических групп.
Заменив полиномы на формальные ряды, получим их декартову сумму.

[Joker_vD]

О-о-о-о... бедные мои мозги... Да, я въехал, спасибо, но... ох. Всегда чувствовал, что наличие всего двух терминов, "произведение" и "сумма", для такой прорвы явлений ни к чему хорошему не приведет, но чтобы все настолько плохо...

Потому что я всегда видел такую терминологию: $\langle\{f\colon\mathbb N\to \mathbb Z_2\},+\rangle$ с операцией $(f+g)(i)=f(i)+g(i)$ — это прямое произведение счетного числа групп $\langle\mathbb Z,+\rangle$. А $\langle\{f\colon\mathbb N\to \mathbb Z_2\mid f(i)=0 \text{ почти для всех }i\in \mathbb N\},+\rangle$ с той же операцией — это прямая сумма счетного числа групп $\langle\mathbb Z,+\rangle$. А когда нет нейтрального элемента, то понятие "прямая сумма" исчезает, остается "прямое произведение".

В общем, жили-были групповики, жили-были универсальные алгебраисты, жили-были коммутативщики (которые баловались с кольцами-модулями), жили-были категористы... и ни к чему хорошему это не привело

[r2d2study]

Мне нужно придумать пример класса групп, замкнутого относительно взятия подгрупп, факторгрупп и прямых произведений, но не замкнутого относительно декартовых произведений (не являющегося многообразием). Определения в том смысле, в котором я написал.

Что не подходят прямые суммы изоморфных копий группы $Z_2$ я понял.
А подойдут ли прямые суммы циклических групп $Z_p$ для всевозможных p? Например, декартова сумма $Z_p$ по всем простым p? Тут уже векторного пространства не получается.

[bot]

Да, это подойдёт. Берём класс групп (можно абелевых), в каждой из которых любой элемент имеет конечный порядок - он задаётся бесконечной формулой $\bigvee\limits_{n=0}^\infty (x^n=1)$. Этот класс замкнут относительно взятия подгрупп, факторов и прямых произведений, но не замкнут относительно декартовых.

[r2d2study]

bot
Спасибо!

[Kallikanzarid]

lofar
В случае абелевых групп будет различие между бесконечными произведением и копроизведением.

[lofar]

Kallikanzarid Да, конечно, различие есть.