Декартово произведение групп

- это множество функций

с покомпонентным произведением, а прямое произведение - подгруппа этой группы, состоящая из функций с конечным носителем.
Я не понимаю вот таких утверждений: "всякая полная абелева группа

изоморфна прямой сумме элементарных полных подгрупп", или первую теорему Прюфера: "всякая абелева группа ограниченного периода раскладывается в прямую сумму примарных циклических". Почему здесь можно говорить о прямой сумме, а не декартовой?
Вот, например, декартова сумма счетного числа копий

- удовлетворяет условию теоремы, но ведь это не прямая сумма примарных циклических?
Я пытался придумать пример множества групп, замкнутого относительно прямых сумм, подгрупп и факторгрупп, не являющегося многообразием и понял, что не понимаю этой разницы.