существует ли целая функция, такая что |f(z)| > |z|

[ewert]

nnosipov в сообщении #535958 писал(а):

целая функция с ограниченной вещественной частью, что невозможно, так как она не константа.

Чуть помедленнее. Откуда следует, что именно вещественная часть не имеет права быть ограниченной?...

[hippie]

tavrik в сообщении #535941 писал(а):

Если f целая функция и не константа то существует z, для которого:
$Ref(z) > |f(z)|^2$

Неравенство $\operatorname{Re} w > |w|^2$ выполняется для всех $w$ из некоторой окрестности точки $w_0=\frac 12.$
Следовательно, если не найдётся таких $z,$ при которых $\operatorname{Re} f(z) > |f(z)|^2,$ то функция $\frac 1{f(z)-\frac 12}$ — целая, ограниченная, т.е. константа.

[nnosipov]

ewert в сообщении #535971 писал(а):

Откуда следует, что именно вещественная часть не имеет права быть ограниченной?

Да они обе (и вещественная, и мнимая) такие, поскольку обе гармонические.

[ewert]

nnosipov в сообщении #536050 писал(а):

Да они обе (и вещественная, и мнимая) такие, поскольку обе гармонические.

Ну неограниченность гармонической функции -- факт менее элементарный, чем теорема Лиувилля или Сохоцкого.

[nnosipov]

ewert в сообщении #536056 писал(а):

Ну неограниченность гармонической функции -- факт менее элементарный, чем теорема Лиувилля или Сохоцкого.

Но здесь возможны элементарные трюки типа "если вещественная часть $f(z)$ ограничена, то составим подходящую дробно-линейную комбинацию из $f(z)$, которая окажется ограниченной целой функцией". Всё это фактически на уровне теоремы Лиувилля.

[ewert]

nnosipov в сообщении #536076 писал(а):

Всё это фактически на уровне теоремы Лиувилля.

По-моему, проще на весу доказать теорему Сохоцкого. Вот тут по существу примерно половина доказательства этой теоремы и воспроизведена (надо лишь кой-какие слова заменить):

hippie в сообщении #536002 писал(а):

Неравенство $\operatorname{Re} w > |w|^2$ выполняется для всех $w$ из некоторой окрестности точки $w_0=\frac 12.$
Следовательно, если не найдётся таких $z,$ при которых $\operatorname{Re} f(z) > |f(z)|^2,$ то функция $\frac 1{f(z)-\frac 12}$ — целая, ограниченная, т.е. константа.

[nnosipov]

ewert в сообщении #536081 писал(а):

По-моему, проще на весу доказать теорему Сохоцкого.

Похоже, я просто забыл как она доказывается

[ewert]

nnosipov в сообщении #536102 писал(а):

Похоже, я просто забыл как она доказывается

Ну тупо доказывается. Если значение $w$ не является предельной точкой для множества значений, то в некоторой окрестности $z_0$ значения функции $f(z)-w$ отделены от нуля и, значит, функция $\frac{1}{f(z)-w}$ ограничена. Тогда для неё точка $z_0$ будет устранимой, а значит, для самой функции $f(z)$ -- или тоже устранимой, или полюсом.

Конечно, тут ещё вопрос, что считать курицей и что яйцом. На мой вкус, теорема Сохоцкого и вообще вся группа теорем, связанная с классификацией особых точек, принципиальнее, чем теорема Лиувилля (которая в таком случае следует из этих теорем уже автоматически).

[nnosipov]

ewert в сообщении #536113 писал(а):

Конечно, тут ещё вопрос, что считать курицей и что яйцом.

Согласен. Теорему Лиувилля отчасти оправдывает то, что она даёт повод вспомнить про принцип максимума.

[tavrik]

да, после теоремы Лиувиля есть отступление, где доказывается неограниченность Re{f} Im{f} (для целой функции не являющейся константой)
правда гармоничные функции там не упомянуты.
но надо еще посидеть.