Счетно-компактное семейство

[alcoholist]

Вот эти $U_x$ образуют открытое покрытие... выделяем конечное подпокрытие... а последовательность -- бесконечная

[xmaister]

$\{U_n\}_{1\le n\le N}$- конечное подпокрытие. Точки $\{x_n\}_{n\ge N_k}\not\in U_k$. Начиная с некоторого $N=\max (N_1,\ldots ,N_n)$ ни одна точка последовательности не будет принадлежать этому конечному подпокрытию. Т.е. оно все $X$ не покроет. Ну а зачем тогда Вы потребовали выполнение первой аксиомы счетности?

[alcoholist]

Тонкий момент... мы же говорим про подпоследовательности.

Если у нас есть последовательность и точка, в любой окрестности которой найдется член этой последовательности, то это еще не означает, что найдется подпоследовательность, сходящаяся к данной точке.

[xmaister]

Тогда не понимаю каком смысле понимать существование сходящихся подпоследовательностей? Я думал, что существование сходящихся подпоследовательностей к $x$ гарантируется тем, что $x$ предельная точка.

[alcoholist]

Нет.

Секвенциальное замыкание содержится в замыкании, но не совпадает с ним, вообще говоря

-- Вс фев 05, 2012 02:45:11 --

Если существует последовательность точек из можества $A$, сходящаяся к $x$, то $x$ лежит в замыкании $A$. Обратное неверно.

[xmaister]

Тогда мне непонятно вот это:
В Энгелькинге дано определение: $x$- предельная точка направленности $S$, если $\forall U_x\forall\sigma_0\exists\sigma>\sigma_0 (x_\sigma\in U_x)$. Далее доказывалось, что если $x$- предельная точка направленности $S$, то $x$- предел некоторой направленности $S'$, более тонкой чем $S$. Почему тогда будет неверно, если в качестве направленности взять последовательность, а в качестве более тонкой взять подпоследовательность?

[alcoholist]

что такое "более тонкая"?

[xmaister]

$S'=\{x_{\sigma '}, \sigma '\in \Sigma '\}$- тоньше, чем $S=\{x_\sigma ,\sigma\in\Sigma\}$, если существует $\varphi :\Sigma '\to\Sigma$, такое что:
1. $\forall \sigma _0\in\Sigma\exists \sigma '\in\Sigma '\forall\sigma '\ge\sigma _0 (\varphi (\sigma ')\ge\sigma _0)$
2. $x_{\varphi (\sigma ')}=x_{\sigma '},\sigma '\in\Sigma '$

[alcoholist]

разве последовательность не тоньше своей подпоследовательности?

Чем "тоньше" , тем больше "видит и чувствует"

[xmaister]

alcoholist в сообщении #535331 писал(а):

Если существует последовательность точек из можества $A$, сходящаяся к $x$, то $x$ лежит в замыкании $A$. Обратное неверно.

Вы имеете в виду для произвольного пространства? Для пространства с первой аксиомой счетности вроде бы верно. $\mathscr{B}(x)$- база в точке $x$, $x_n\in A\cap U_1\cap \ldots\cap U_n$. Чёт я совсем запутался...

[alcoholist]

Да, если первая аксиома выполнена, то совпадают

-- Вс фев 05, 2012 12:56:02 --

и, конечно, я зря заговорил про секвенциальную компактность

прямая с топологией Зарисского тоже секвенциально-компактна -- там вся прямая является пределом любой нестабилизирующейся последовательности

[Someone]

alcoholist в сообщении #535253 писал(а):

Someone в сообщении #535247 писал(а):

Эта конструкция благополучно работает и на множестве рациональных чисел

и какие же там компакты?

Дык, точно так же, как у Вас:

alcoholist в сообщении #535059 писал(а):

Пример. На прямой с топологией Зарисского (открытые -- дополнения к конечным) любое множество компактно. Семейство компактов $(0;1/n)$, $n\in\mathbb{N}$ имеет пустое пересечение, тогда как любое конечное пересечение непусто.

Вот и возьмите множество рациональных чисел с топологией Зарисского. Там точно так же всякое подмножество будет компактным. Топология тут счётная, так что не только первая аксиома счётности есть, но даже и вторая. И интервалы те же самые будут компактными множествами, и пересечение их всех пусто, и пересечение любого конечного подсемейства непусто... Так что первая аксиома счётности ни при чём.

alcoholist в сообщении #535253 писал(а):

Someone в сообщении #535247 писал(а):

А вот хаусдорфовость действительно существенна.

нет

данное свойство выполняется и в нехаусдорфовом пространстве с первой аксиомой счетности и в хаусдорфовом без нее -- независимые достаточные условия

На всякий случай спрашиваю. Вы точно поняли, что речь идёт не о счётно компактном пространстве, а о счётно компактном семействе множеств?

[alcoholist]

Someone в сообщении #535428 писал(а):

Вы точно поняли

да

И необходима ли хаусдорфовость объемлющего пространства мне совсем неясно

[Someone]

alcoholist в сообщении #535450 писал(а):

необходима ли хаусдорфовость объемлющего пространства мне совсем неясно

Мне - тоже.

[xmaister]

alcoholist, вроде получилось. Посмотрите пожалуйста всё ли чётко?
Пусть $X$- компактное пространство, а $\{x_n\}$- произвольная последовательность. Если предположить для любого $x$ существует окрестность $U_x$, содержащая лишь конечное число точек данной последователности, тогда любое конечное подпокрытие покрытия $\{U_x\}_{x\in X}$ будет содержать конечное число точек последовательности и всё $X$ не покроет. Пусть $x$- точка, такая что любая её окретсность содержит бесконечное число точек $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, а $\mathscr{B}(x)=\{U_i\}_{i\in\mathbb{N}}$- база. Выберем одно из этих точек $x_{n_1}\in U_1$. Это можно сделать в силу аксиомы выбора. Из $U_1\cap U_2$ возьмём $x_{n_2}\ne x_{n_1}$. Продолжая по индукции получим, что ${x_{n_k}}$ сходится к $x$ по определению.