Счетно-компактное семейство

[xmaister]

Здравствуйте! Нужно доказать, что произвольное семейство компактов $\mathcal{K}$ топологического пространства $(X,\tau)$ счетно-компактно.
Знаю, что для компактного хаусдорфова это верно. Если $X$- хаусдорфово, то каждый компакт- замкнут в $X$. Тогда рассмотрим произвольное счетное семейство компактов $\{K_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{K}$ в $X$ с пустым пересечением. Предположим, что $\forall N \bigcap\limits_{n=1}^{N}K_n\ne\varnothing$, а значит семейство $\{K_n\}_{n\in\mathbb{N}}$- центрированное и $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}K_n\ne\varnothing$. Противоречие. А как сделать для произвольного топологического?

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #534972 писал(а):

Нужно доказать, что произвольное семейство компактов $\mathcal{K}$ топологического пространства $(X,\tau)$ счетно-компактно.

если под семейством понимаентся объединение, то это неверно

[xmaister]

Oleg Zubelevich
Под семейством понимается произвольный набор компактных множеств $\{U_s\}_{s\in S}=\mathcal{K}$. Семейство $\mathcal{K}$- счетно-компактно, если для любого подсемейства $\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{K}$, $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}U_n=\varnothing$ существует $N$, такое что $\bigcap\limits_{n=1}^{N}U_n=\varnothing$

[Oleg Zubelevich]

я привык к тому, что топологическое пространство счетно-компактно если всякое его счетное покрытие открытыми множествами содержит конечное подпокрытие, а что у Вас я не понял, и ладно.

[xmaister]

Так в условии не говорится, что топологическое пространство- счетно-компактно. Дано лишь произвольное семейство компактов и нужно доказать, что это семейство- счетно-компактно.

[alcoholist]

Если в $X$ имеет место первая аксиома счетности, то утверждение, очевидно, верно. не знаю очевидно ли

В общем случае -- нет.

Пример. На прямой с топологией Зарисского (открытые -- дополнения к конечным) любое множество компактно. Семейство компактов $(0;1/n)$, $n\in\mathbb{N}$ имеет пустое пересечение, тогда как любое конечное пересечение непусто.

[xmaister]

alcoholist
, не получается в предположении первой аксиомы счетности. Можете дать на водку?

[alcoholist]

в таких пространствах компактность влечет секвенциальную компактность

[xmaister]

Я про секвенциальную компактность ничего не знаю, без этого определения точно никак?

[alcoholist]

это просто означает, что любая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность -- иначе общую точку не обнаружить

[Someone]

alcoholist в сообщении #535059 писал(а):

Пример. На прямой с топологией Зарисского (открытые -- дополнения к конечным) любое множество компактно. Семейство компактов $(0;1/n)$, $n\in\mathbb{N}$ имеет пустое пересечение, тогда как любое конечное пересечение непусто.

Эта конструкция благополучно работает и на множестве рациональных чисел, так что первая аксиома счётности тут ни при чём. А вот хаусдорфовость действительно существенна.

[alcoholist]

Someone в сообщении #535247 писал(а):

Эта конструкция благополучно работает и на множестве рациональных чисел

и какие же там компакты?

-- Сб фев 04, 2012 22:47:15 --

Someone в сообщении #535247 писал(а):

А вот хаусдорфовость действительно существенна.

нет

данное свойство выполняется и в нехаусдорфовом пространстве с первой аксиомой счетности и в хаусдорфовом без нее -- независимые достаточные условия

[xmaister]

Если пространство с первой аксиомой счетности, то оно секвенциально. Предположив, что существует последовательность, не имеющая предельных точек, как это будет противоречить компактности?

[alcoholist]

xmaister в сообщении #535274 писал(а):

Если пространство с первой аксиомой счетности, то оно секвенциально

Вы неправильно поняли:

alcoholist в сообщении #535238 писал(а):

в таких пространствах компактность влечет секвенциальную компактность

т.е. если наше пространство компактно и выполнена первая аксиома счетности, то в нем любая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность

[xmaister]

alcoholist в сообщении #535285 писал(а):

если наше пространство компактно и выполнена первая аксиома счетности, то в нем любая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность

Вот это я и не пойму как доказать. Если предположить, что в пространстве с первой аксиомой счетности существует $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, не имеющая предельных точек, то $\forall x\exists U_x\exists N\forall n>N (x_n\not\in U_x)$. Не понятно, как здесь применить первую аксиому, чтобы получить противоречие с компактностью? Или я опять что-то не правильно понял?