Счетно-компактное семейство

[alcoholist]

xmaister в сообщении #535479 писал(а):

Посмотрите пожалуйста всё ли чётко

да, из компактности+ IАС следует секвенциальная компактность


Но мы уже выяснили, что к исходной задаче это отношения не имеет:(

[xmaister]

alcoholist
Тогда пологая, что $X$- хаусдорфово получаем, что $K_n$- замкнуто, рассматриваем произвольную последовательность, такую что $x_n\in\bigcap\limits_{i=1}^{n}K_n$. $x\in K_1$- точка, которая в любой своей окрестности содержит бесконечное число членов последовательности. Тогда $\forall U_x\forall n (U_x\cap\left(\bigcap\limits_{i=1}^{n}K_i\right)\ne\varnothing)\Leftrightarrow\forall U_x (U_x\cap\left(\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}K_i\right)) $. А так как $\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}K_i$- замкнуто, то получаем, что $x\in \bigcap\limits_{i=1}^{\infty}K_i$. Верно?

[alcoholist]

Зачем так сложно?

$K_1$ -- компакт, а $\{K_n\cap K_1\}_{n\ge 2}$ -- центрированная система замкнутых подмножеств

[xmaister]

Точно, спасибо.

[alcoholist]

а откуда задача?

[xmaister]

Из методички по теории меры.

[alcoholist]

там, наверное, предполагается хаусдорфовость

[xmaister]

(Оффтоп)

Ещё раз посмотрел. Там сказано, что для $\mathbb{R}^n$ это верно и указано, что более общим образом можно рассматривать топологическое пространство, про хаусдорфовость не сказано.

[lyuk]

Точнее это свойство виглядит так.

Любое семейство компактных замкнутых подмножеств топологического пространства -- счетно компактно.