Проверьте решение задач по комбинаторике

[ЕкатеринаУ]

Проверьте, пожалуйста, решение задач по комбинаторике, и если Вы видете ошибки, укажите на них.
Извините, не смогла разобраться как пользоваться [math], приходится формулы в текстовом виде писать.

1. Колода карт насчитывает 52 карты. Сколькими способами можно сдать одному игроку 4 карты?

Решение:
1 вариант
Количество способов, которыми можно сдать 4 карты из 52 найдем по формуле «число размещений»

A(52, 4) = 52!/48! = 52*51*50*49 = 6497400

P/s: В задаче не сказано важен ли порядок карт, поэтому я решила посчитать по формуле размещений.

2 вариант
1-ю карту можно сдать игроку 52 способами.
2-ю карту можно сдать игроку 51 способами (учитывая, что одна карта уже сдана).
3-ю карту можно сдать игроку 50 способами.
4-ю карту можно сдать игроку 49 способами.
Тогда используя принцип умножения, получаем, что количество способов сдачи одному игроку 4 карты из 52 равно
n = 52*51*50*49 = 6497400.


2. Сколькими способами из 5 супружеских пар можно отобрать 4 человека, если:
а) в число отобранных должны входить 2 мужчин и 2 женщины;
б) никакая супружеская пара не должна входить в это число.

Решение:
а) Сначала выберем из мужчин двух человек.
Считаем, что порядок мужчин не важен, значит, находим число сочетаний двух мужчин из
пяти по формуле
n1 = C(5,2) = 5!/(2!*3!) = 10.

Точно также посчитаем сколькими способами можно выбрать двух женщин из пяти.
Аналогично выбору мужчин способов будет n2 = C(5,2)=5!/(2!*3!) = 10.

Тогда количество способов, которыми можно отобрать из 5 супружеских пар 2 мужчин и
2 женщин равно n = n1*n2 = 10*10 = 100.

б) Придерживаясь принципа, что порядок человек не важен, используем формулу сочетаний,
чтобы определить сколькими вообще способами можно выбрать четырех человек из 10-ти.
C(10, 4) = 10!/(4!*6!) = 210
Так как супружеских пар 5, то количество способов выбора 4-х человек из десяти при
условии, что никакая супружеская пара не должна входить в это число, равно
n = 210 - 5 = 215

[PAV]

Все правильно. Количество вариантов с учетом порядка карт найдено правильно. Только я бы все равно еще вычислил также число вариантов без учета порядка. Обычно в "карточных" задачах порядок не важен. А Вы продемонстрируете, что (а) понимаете разницу; (б) умеете считать и то, и другое.

[ЕкатеринаУ]

PAV писал(а):

Все правильно. Количество вариантов с учетом порядка карт найдено правильно. Только я бы все равно еще вычислил также число вариантов без учета порядка. Обычно в "карточных" задачах порядок не важен. А Вы продемонстрируете, что (а) понимаете разницу; (б) умеете считать и то, и другое.

Хорошо, напишу два варианта.

[PAV]

И не забудьте в решении пояснить, в чем разница. А то могут подумать, что Вы этого не знаете и пишете все скопом.

[ЕкатеринаУ]

3. Подрядчику нужны 4 специалиста, а к нему обратились 10. Сколькими способами он может выбрать четверых?

В данном случае порядок наверно не важен, поэтому использую формулу сочетаний

С(10, 4) = 10!/(4!*6!) = 210 - вариантов

Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:

PAV писал(а):

А то могут подумать, что Вы этого не знаете и пишете все скопом.

Хороошо, но я понимаю (более менее) в чем разница, а человек для которого я решаю, не уверена, что понимает. Поэтому и пишу подробно.

Добавлено спустя 3 минуты 15 секунд:

>> Друг
>> Для записи математических выражений используйте тег ! я нажимаю на тег [math], у меня появляется в окне сообщений только надпись [math], и что с этим дальше делать я не поняла

Добавлено спустя 8 минут 17 секунд:

4. Для участия в соревнованиях тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если:
а) два определенных мальчика должны войти в команду;
б) нет никаких ограничений.

а) Рассуждаем, следующим образом,
1-го мальчика из 10 можно выбрать одним способом;
2-го мальчика из 10 можно выбрать тоже одним способом;
это те два мальчика, которые должны войти в команду в любом случае.
дальше,
3-го мальчика мы можем выбрать уже из 8 человек;
4-го - из 7 человек;
5-го - из 6 человек.

По принципу умножения
n = 1*1*8*7*6 = 336 - способов

б) по формуле сочетаний С(10, 5) = 10!/(5!*5!) = 252

Добавлено спустя 5 минут 46 секунд:

5. В автомашине 7 мест. Сколькими способами 7 человек могут разместиться в машине, если занять место водителя могут только 3 из них?

Здесь я точно не знаю, но думаю так:

На место водителя сажаем одного человека. Остальные 6 могут рассесться 6! способами (по формуле перестановок).
Затем меняем водителя и остальных рассаживаем 6! способами.
И третий раз повторяем тоже.

Получаем, 3*6! = 3 * 720 = 2160 способов.

Добавлено спустя 8 минут 42 секунды:

6. 8 человек должны расположиться в двух комнатах, причем в каждой должно быть, по крайней мере, 3 человека. Сколькими способами это можно сделать?


Мыслей почти ноль, но некоторые размышления.

В одной комнате может располагаться максимум 5 человек,
Количество способов выбрать из 8 человек 5 (по формуле сочетаний) равно С(8, 5) = 56.

Тогда в другой максимум 3, С(8, 3) = 56.

А дальше сложить результаты или умножить.

Бред какой-то, но ничего другого на ум не идет.

[Capella]

В 6 задаче ещё надо учесть, что может быть по 4 человека в комнатах. Результаты надо сложить.

Добавлено спустя 6 минут 23 секунды:

Только по-моему слова "в другой" здесь не очень правильные... Я-бы рассмотрела для одной комнаты выбор 3, 4 и 5 человек из 8. Если комнаты различаются, то надо умножить на 2.

И ещё одна вещь - задачу 4 Вы делает двумя различными способами, во втором случае Вы не раличаете последовательность выбора, а в первом различаете. На самом деле в первом случае будет неупорядочный выбор 3 мальчиков из 8.

[C0rWin]

ЕкатеринаУ писал(а):

4. Для участия в соревнованиях тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если:
а) два определенных мальчика должны войти в команду;
б) нет никаких ограничений.

а) Рассуждаем, следующим образом,
1-го мальчика из 10 можно выбрать одним способом;
2-го мальчика из 10 можно выбрать тоже одним способом;
это те два мальчика, которые должны войти в команду в любом случае.
дальше,
3-го мальчика мы можем выбрать уже из 8 человек;
4-го - из 7 человек;
5-го - из 6 человек.

По принципу умножения
n = 1*1*8*7*6 = 336 - способов

б) по формуле сочетаний С(10, 5) = 10!/(5!*5!) = 252

Я конечно могу и ошибаться, но мне кажется тут ошибка. Ведь порядок выбора мальчиков не играет роли. Соответственно и ответ будет $8 \choose 3$ Так как первых двух мальчиков выбираем однозначно, а остальных без учета порядка выбора.

Добавлено спустя 10 минут 27 секунд:

ЕкатеринаУ писал(а):

6. 8 человек должны расположиться в двух комнатах, причем в каждой должно быть, по крайней мере, 3 человека. Сколькими способами это можно сделать?


Мыслей почти ноль, но некоторые размышления.

В одной комнате может располагаться максимум 5 человек,
Количество способов выбрать из 8 человек 5 (по формуле сочетаний) равно С(8, 5) = 56.

Тогда в другой максимум 3, С(8, 3) = 56.

А дальше сложить результаты или умножить.

Бред какой-то, но ничего другого на ум не идет.

Почти так но просто надо расмотреть все варианты. А их всего три: в одной комнате 3 во второй 5, наоборот и в каждой по 4. Итого $2*{8\choose3}$+${8\choose4}$

[ЕкатеринаУ]

Capella, C0rWin, спасибо,
6-ю задачу я успела решить раньше, чем снова зашла на форум, но ваши ответы подтвердили мои "догадки".

----------------------------------------------------------------------------------

её решение я написала так (текст подправила после ваших сообщений)

5. 8 человек должны расположиться в двух комнатах, причем в каждой должно быть, по крайней мере, 3 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:
Есть 3 варианта расположения человек по комнатам: 5 – 3, 4 – 4, 3 – 5.
Каждый из вариантов расположения человек, исключает другой, значит, задачу можно переформулировать следующим образом:
Из 8 человек в комнате могут находиться или 3 человека, или 4, или 5, при этом порядок людей не важен. Сколькими способами можно это можно сделать?
В этом случае применяем принцип сложения для подсчета всех способов расположения людей.
$n = C_8^3 + C_8^4 + C_8^5 = 182$
способами можно расположить 8 человек по двум комнатам, при условии, что в каждой должно быть не меньше 3 человек.

----------------------------------------------------------------------------------

Насчет 4-ой задачи, я поняла, что рассуждала совершенно не правильно, спасибо, что подсказали.

----------------------------------------------------------------------------------
Я хотела уточнить: Остальные задачи правильные (кроме 4 и 6)?

----------------------------------------------------------------------------------

В задаче 5 я немного поменяла объснительный текст, скажите он стал точнее или я ушла в дебри (в сторону от сути задачи):

5. В автомашине 7 мест. Сколькими способами 7 человек могут разместиться в машине, если занять место водителя могут только 3 из них?

Решение:
Сажаем одного человека на место водителя (из числа тех трех, что могут занимать его место), остальные 6 человек могут меняться местами 6! способами (число перестановок ). Меняем водителя, и оставшиеся также рассаживаются 6! способами. Также делаем и в 3 раз.
Так как, место водителя может занимать только один человек, то каждый из вариантов исключает другой, значит здесь применим принцип сложения.
$n = 6! + 6! +6! = 2160$
способов расположения 7 человек в машине, если место водителя могут занимать только 3 из них.

[Capella]

На мой взгляд 3 и 5 задачи были решены изначально верно. Ход решения логичен.

[Марк]

Помогите мне с решением...
Есть 8 кубиков {0...7}
сколько вариантвов расположения отобранных кубиков, если учесть, что минимальное число отобранных равно 1, максимальное - 8. Порядок расположения важен.

[Capella]

Марк

$\sum\limits_{n=1}^8 \frac {8!}{(8-n)!}$, если каждый раз выбираем из 8

$\sum\limits_{n=1}^8 n!$, если отобраное количество уже известно и лежит в заданом диапзоне

[Марк]

Capella писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^8 \frac {8!}{(8-n)!}$, если каждый раз выбираем из 8

Т.е. это максимальное количество вариантов расположения, при условии, что каждый раз кубики возвращались назад???

Capella писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^8 n!$, если отобраное количество уже известно и лежит в заданом диапзоне

А это как?

[Capella]

Нет. Первая формула считает такой расклад: у Вас есть изначально 8 кубиков, из которых Вы выбираете не кладя назад Ваши множества, т.е. упорядоченое расположение (в дальнейшем ур) 1 кубика из 8, ур 2 кубиков из 8, ур 3 кубиков из 8 и т.д. до ур 8 кубиков из 8. Их объединение даёт Вам все варианты.
Вторая формула считает так (я не думаю, что она спрашивается, скорее всего первый метод, но я Вам её всё равно привожу): У Вас отобрано 8 кучек для 8 экспериментов: 1 кубик, 2 кубика, 3 кубика и т.д. Уже внутри этих кучек делаем упорядоченое расположение. Назад мы опять не кладём. Далее опять образуем сумму. Я сделала этот вариант, поскольку не очень хорошо поняла смысл выделеного слова в Вашем посте:

Марк писал(а):

сколько вариантвов расположения отобранных кубиков

,

т.е. они уже отобраны количествено или их только будут отбирать из 8

[Марк]

Capella писал(а):

Нет. Первая формула считает такой расклад: у Вас есть изначально 8 кубиков, из которых Вы выбираете не кладя назад Ваши множества, т.е. упорядоченое расположение (в дальнейшем ур) 1 кубика из 8, ур 2 кубиков из 8, ур 3 кубиков из 8 и т.д. до ур 8 кубиков из 8. Их объединение даёт Вам все варианты.

Вот, это то, что мне надо было... просто комбинаторику нам еще не преподавали, а на прогаммировании сейчас понадобилось... сложно объеснить, что надо...

[Capella]

Марк писал(а):

сложно объяснить, что надо...

Да Вы всё правильно объяснили