Почему кольцо, поле, алгебра множеств так называются?

[wallflower]

Почему кольцо, поле, алгебра множеств так называются, ведь это конфликтует с кольцом, полем и алгеброй в смысле абстрактной алгебры?

[bot]

Да мало ли кто с кем конфликтует и по какому поводу? К примеру, в кольцо дивизии берут, а поля засевают.

[wallflower]

Кольцо дивизии с кольцом множеств не перепутаешь, а кольцо множеств и кольцо некоторых множеств в смысле алгебры -- можно. Я думаю, есть даже статьи, где эти понятия встречаются в одном контексте.

-- 04.02.2012, 13:54 --

Вообще, интересует мотивация названий "кольцо", "поле" и т. п. как в алгебре, так и в теории множеств.

[Sonic86]

Да прикольные названия - не вызывают левых ассоциаций, короткие. А то если аккуратно абстрактно называть - получается многоступенчатая жуть (типа "нижний центральный ряд") либо куча синонимов (в теории групп слова "нормальный", "алгебра", "произведение" и еще чего-то перегружены). Там еще такие же слова "цоколь", "радикал", "идеал", "амальгама" (хотя откуда это всем известно).

[apriv]

Как ни странно, кольцо множеств действительно является кольцом, где симметрическая разность играет роль сложения, а пересечение — умножения.

[wallflower]

apriv
IMHO, совпало. Поле (= алгебра) множеств уже в алгебраический смысл, как я понимаю, не впишешь.

[apriv]

wallflower в сообщении #534996 писал(а):

apriv
IMHO, совпало. Поле (= алгебра) множеств уже в алгебраический смысл, как я понимаю, не впишешь.

Как ни странно, алгебра множеств действительно является алгеброй — подалгеброй булевой алгебры.

[Nimza]

А Вы в современной литературе встречали "поле" множеств? Названия "алгебра" и "кольцо" множеств мне нравятся, мотивировка как у apriv. Как ещё логичнее было их назвать?

[Joker_vD]

Вообще, в книге "Введение в коммутативную алгебру" Атьи и Макдональда в конце первой главы были упражнения 24-25 (там, правда, решетку называют "структурой"), так там сразу приводят пример, что "все подмножества данного множества, упорядоченные по включению, образуют булеву алгебру" — как раз в том смысле, какой вводится в том упражнении.

Так после этого там сразу же превращают такую алгебру в булево кольцо, ну а то, чтокольцо является алгеброй над самим собой... насколько я понимаю, идея в том, что алгебра множеств естественным образом получает кольцевую структуру (и, следовательно, структуру алгебры над кольцом).

Насчет самого происхождения терминов "кольцо", "поле" — это надо у древних спрашивать, но вроде бы они это с потолка взяли.

[apriv]

Joker_vD в сообщении #535146 писал(а):

Так после этого там сразу же превращают такую алгебру в булево кольцо, ну а то, чтокольцо является алгеброй над самим собой... насколько я понимаю, идея в том, что алгебра множеств естественным образом получает кольцевую структуру (и, следовательно, структуру алгебры над кольцом).

Булева алгебра все-таки не над собой (это не так интересно), а над полем из двух элементов.

[warum]

По поводу кольца (алгебраического) - я тоже об этом думал и придумал следующее. Видимо, первым примером нетривиального кольца (т.е. не сводящегося к кольцу обычных чисел), моделью, было кольцо $\Bbb Z/(n)$. Но оно как раз имеет естественную структуру кольца! Потому что операция инкремента (+1), стартуя с 0 и будучи применённой n раз, возвращает нас обратно в 0, т.е. закольцовывает структуру. В этом смысле само исходное кольцо $\Bbb Z$ - это кольцо "бесконечного радиуса".

Насколько правдоподобно подобное предположение?

Откуда взялось название понятия "поле" - не имею мыслей.

[arseniiv]

warum в сообщении #1198743 писал(а):

Но оно как раз имеет естественную структуру кольца! Потому что операция инкремента (+1), стартуя с 0 и будучи применённой n раз, возвращает нас обратно в 0, т.е. закольцовывает структуру.
<…>
Насколько правдоподобно подобное предположение?

Тогда надо было бы произвольные абелевы группы или даже просто циклические группы называть кольцами, т. к. вы не упоминали тут одновременно обе операции кольца.

[warum]

arseniiv в сообщении #1198786 писал(а):

Тогда надо было бы произвольные абелевы группы или даже просто циклические группы называть кольцами, т. к. вы не упоминали тут одновременно обе операции кольца.

Произвольные абелевы группы имеют более сложную структуру - они (в случае наличия конечного числа образующих) представляют собой прямую сумму циклических и свободных циклических групп, что на кольцо не очень похоже. Скорее, прямая сумма колец.

Циклические группы - да, они, в общем, тоже "кольца". Может, просто исторически их так не успели назвать?

А какова ваша гипотеза?

[Vince Diesel]

Зачем свои гипотезы Быстрый поиск выдает статью на вики Ring и вопрос тут. На обеих страницах сказано, что ring это сокращение от термина Zahlring (типа "кольцо чисел"), использованного Гильбертом. А уж почему он так назвал... По второй ссылке есть спекуляции.

[arseniiv]

warum в сообщении #1198790 писал(а):

А какова ваша гипотеза?

Моя гипотеза никакова, но вроде тут где-то упоминали всё, что известно по поводу этимологии этих терминов. Вот и Vince Diesel уже сразу пишет об этом со ссылками (эх, плохо у меня с организацией источников информации, в результате вечно не могу дать практически никаких ссылок).