Очень замечательный предел

[Ktina]

Даже детям известно, что $e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
А чему равно $\lim_{n\to\infty}n \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^n-e\right)$?

Получается нуль, помноженный на бесконечность, следовательно, нужно избавляться либо от нуля, либо от бесконечности. Каким способом это можно сделать?
Наведите, пожалуйста, на мысль.

[Null]

Ряд Тейлора для $e^{n\ln(1+\frac{1}{n})}$ с точностью до $o(\frac{1}{n})$ (логарифм до $o(\frac{1}{n^2})$) позволяет получить ответ.

[alcoholist]

Null в сообщении #534655 писал(а):

Ряд Тейлора

Лишнее...

Надо вспомнить классическое неравенство

$$ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e< \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} $$

[Null]

По-моему у этих неравенств точности не хватит.

[Ktina]

Null в сообщении #534704 писал(а):

По-моему у этих неравенств точности не хватит.

А что, если взять $\lim_{n\to\infty}\left(n \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^n-e\right)+\frac{e}{2}\right)$ и попытаться доказать, что он равен нулю?

[Null]

Есть неравенства второго порядка точности, может они помогут?

$$\frac{2}{2n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+2}$$

[ewert]

Всё-таки не ряд, но, безусловно, формула Тейлора:
$$\left(1+\frac1n\right)^n-e=e^{n\ln(1+\frac1n)}-e=e(e^{-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}-\frac1{4n^3}+\ldots}-1)=e\cdot\left(-\frac1{2n}+\ldots\right)$

Раскладывайте до опупения -- и получайте любой член асимптотики. А какие-то спецнеравенства вовсе и не к чему.

[phys]

А почему нельзя написать:

$$ \lim \left[n\left( (1 - \frac 1 n)^n - e \right) \right] = \lim \left[ n \left( 1 - \frac 1 n \right)^n \right] - \lim ne = \lim n \lim\left( 1 - \frac 1 n \right)^n - \lim ne = \lim n e - \lim n e =0 $$

[ewert]

Потому, что бесконечность минус бесконечность равна чёрт-те-чему.

[phys]

Т.е. в $\overline{\mathbb{R}}$ про выражение $ x - x $ нельзя однозначно сказать что оно равно нолю?

[Klad33]

Всегда говорю своим студентам: прежде всего стройте график. Тогда 90% вопросов отметаются сразу. И у нас тоже:

[Nemiroff]

Klad33 в сообщении #534765 писал(а):

Всегда говорю своим студентам: прежде всего стройте график. Тогда 90% вопросов отметаются сразу. И у нас тоже:

Что у нас тоже? И чем эта картинка, которую еще хрен построишь, помогает?

[Klad33]

(Оффтоп)

Согласен. Не все умеют строить графики и не всем это помогает. Наверное, тут мозги нужны.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Klad33 в сообщении #534771 писал(а):

Согласен. Не все умеют строить графики и не всем это помогает. Наверное, тут мозги нужны.

А вы, однако, хороший преподаватель.

[ewert]

phys в сообщении #534751 писал(а):

Т.е. в $\overline{\mathbb{R}}$ про выражение $ x - x $ нельзя однозначно сказать что оно равно нолю?

Нельзя даже не то что сказать -- нельзя даже это выражение выписывать: на бесконечно удалённых точках арифметические операции не определены.