Очень замечательный предел

[kw_artem]

phys в сообщении #534734 писал(а):

А почему нельзя написать:

сам предел нулю не равен. он равен определенному числу.

[hippie]

Чтобы вычислить этот предел достаточно правила Лопиталя.

Сделаем замену $x=\frac 1n$ и рассмотрим $x$ как непрерывную переменную (т.е. продолжим $x$ на действительные числа).

Тогда искомый предел перепишется в виде $A = \lim\limits_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac 1x}-e}x.$ Это неопределённость $\frac 00.$ Пролопиталив её получаем: $A = \lim\limits_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac 1x}\cdot \frac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}}1= \lim\limits_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac 1x}}{1+x}\cdot \frac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2}.$
Первый множитель стремится к $e,$ а второй — неопределённость $\frac 00.$ Дважды пролопиталив её получаем: $\frac Ae = \lim\limits_{x\to 0} \frac{x-(1+x)\ln(1+x)}{x^2} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{-\ln(1+x)}{2x} = \lim\limits_{x\to 0} -\frac{1}{2(1+x)} = -\frac 12 .$