Бесконечное произведение с косинусом

[im_ieee]

$\prod _ {n=1} ^ {\inf} \cos {\frac {1} {n} }$ никак не могу придумать решение. Может, стоит представить в виде $\prod _ {n=1} ^ {\inf} \frac {\sin {\frac {2} {2n - 1} }}{\frac {2} {2n - 1}}$

[SpBTimes]

А сделать то что нужно?

[im_ieee]

Найти значение этого произведения.

[Хорхе]

Думаю, ничему хорошему не равно.

[SpBTimes]

Сходимость ещё можно определить, а вычислить - не знаю..

[xmaister]

А через гамму-функцию не выражается?

[gris]

Сходится, скорее всего, к чему-то положительному в районе 1/3, так как там проглядывается ряд из обратных квадратов (если прологарифмировать и т.д.). То, что сходится вообще — очевидно.
Но вроде бы никаких штук по сворачиванию сомножителей не видно, а без этого точного значения не получить. Но произведение красивое. И числовое значение должно иметь наименование.

[im_ieee]

Вы правы, программа выводит 0.388555581... Сходимость можно доказать используя сходимость суммы квадратов 1/n. Через гамма функцию не пробовал. Вообще, еще можно представить синус или косинус в виде бесконечного произведения, но как дальше в этом случае я не знаю.

[Someone]

im_ieee в сообщении #534455 писал(а):

$\prod _ {n=1} ^ {\inf} \cos {\frac {1} {n} }$ никак не могу придумать решение. Может, стоит представить в виде $\prod _ {n=1} ^ {\inf} \frac {\sin {\frac {2} {2n - 1} }}{\frac {2} {2n - 1}}$

А почему это одно и то же? Что-то никак не соображу.

P.S. Значок $\infty$ кодируется как \infty. Пределы можно поместить сверху и снизу, используя команду \limits: $\prod\limits_{n=1}^{\infty}$.

[Хорхе]

А посчитайте $\prod_{n=0}^\infty \cos \frac x{2^n}$, тогда станет понятно.

[Someone]

Получается $\frac{\sin2x}{2x}$. Да, понял.

[Хорхе]

А такое не считается: $\sum_{n=1}^\infty \frac1n \tg \frac xn$?

[alcoholist]

Хорхе в сообщении #534509 писал(а):

А такое не считается: $\sum_{n=1}^\infty \frac1n \tg \frac xn$?

я пробовал -- получается любопытно:)

тангенс раскладывается в ряд, меняем порядок суммирования, выскакивает $\zeta(2k)$ и уютный гробик

-- Пт фев 03, 2012 15:12:36 --

вот бы удачное представление

$$ \frac{1}{\Gamma(2k)}=\,\,\mbox{что-то линейное от}\,\,t^{2k} $$

найти

[im_ieee]

Не могу понять, как Вы получили тангенс, объясните, пожалуйста.

[alcoholist]

im_ieee в сообщении #534526 писал(а):

как Вы получили тангенс

взяли производную от $\prod\cos\frac{x}{n}$