2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 12:42 


03/02/12
19
Новосибирск
$\prod _ {n=1} ^ {\inf} \cos {\frac {1} {n} }$ никак не могу придумать решение. Может, стоит представить в виде $\prod _ {n=1} ^ {\inf} \frac {\sin {\frac {2} {2n - 1} }}{\frac {2} {2n - 1}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1596
spb
А сделать то что нужно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 12:56 


03/02/12
19
Новосибирск
Найти значение этого произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Думаю, ничему хорошему не равно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1596
spb
Сходимость ещё можно определить, а вычислить - не знаю..

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
А через гамму-функцию не выражается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12938
Сходится, скорее всего, к чему-то положительному в районе 1/3, так как там проглядывается ряд из обратных квадратов (если прологарифмировать и т.д.). То, что сходится вообще — очевидно.
Но вроде бы никаких штук по сворачиванию сомножителей не видно, а без этого точного значения не получить. Но произведение красивое. И числовое значение должно иметь наименование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 13:24 


03/02/12
19
Новосибирск
Вы правы, программа выводит 0.388555581... Сходимость можно доказать используя сходимость суммы квадратов 1/n. Через гамма функцию не пробовал. Вообще, еще можно представить синус или косинус в виде бесконечного произведения, но как дальше в этом случае я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14931
Новомосковск
im_ieee в сообщении #534455 писал(а):
$\prod _ {n=1} ^ {\inf} \cos {\frac {1} {n} }$ никак не могу придумать решение. Может, стоит представить в виде $\prod _ {n=1} ^ {\inf} \frac {\sin {\frac {2} {2n - 1} }}{\frac {2} {2n - 1}}$
А почему это одно и то же? Что-то никак не соображу.

P.S. Значок $\infty$ кодируется как \infty. Пределы можно поместить сверху и снизу, используя команду \limits: $\prod\limits_{n=1}^{\infty}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
А посчитайте $\prod_{n=0}^\infty \cos \frac x{2^n}$, тогда станет понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14931
Новомосковск
Получается $\frac{\sin2x}{2x}$. Да, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 14:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
А такое не считается: $\sum_{n=1}^\infty \frac1n \tg \frac xn$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
Хорхе в сообщении #534509 писал(а):
А такое не считается: $\sum_{n=1}^\infty \frac1n \tg \frac xn$?


я пробовал -- получается любопытно:)

тангенс раскладывается в ряд, меняем порядок суммирования, выскакивает $\zeta(2k)$ и уютный гробик

-- Пт фев 03, 2012 15:12:36 --

вот бы удачное представление
$$
\frac{1}{\Gamma(2k)}=\,\,\mbox{что-то линейное от}\,\,t^{2k}
$$
найти

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 16:01 


03/02/12
19
Новосибирск
Не могу понять, как Вы получили тангенс, объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечное произведение с косинусом
Сообщение03.02.2012, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
im_ieee в сообщении #534526 писал(а):
как Вы получили тангенс



взяли производную от $\prod\cos\frac{x}{n}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group