Принцип наименьшего действия,уравнения Лагранжа.

[В. Войтик]

Munin в сообщении #532779 писал(а):

. Вы же $\dot{q}_i$ не варьировали.

Нет. Именно $\dot{q}_i$ варьируются по времени.

Цитата:

Как вы переходите от полных производных к частным?

В приведённой выше формуле я имел ввиду не полную производную по лагранжиану, а частную, согласно уравнениям Лагранжа. Вы это имели ввиду?

[Munin]

В. Войтик в сообщении #532783 писал(а):

Именно $\dot{q}_i$ варьируются по времени.

Нет, раньше вы говорили, что варьируете только само время. Если вы варьируете $\dot{q}_i$ и $q_i,$ то уравнения Лагранжа-то у вас, конечно, получатся.

В. Войтик в сообщении #532783 писал(а):

В приведённой выше формуле я имел ввиду не полную производную по лагранжиану, а частную, согласно уравнениям Лагранжа. Вы это имели ввиду?

Тогда бы и писали частную. И заодно - откуда это она у вас там может появиться, если вы варьировали по другой функции? Кстати, что такое "производная по лагранжиану"? У меня впечатление, что вы смутно понимаете смысл объектов, с которыми пытаетесь работать, и действия совершаете полуосмысленно, случайно расставляя значки по бумаге.

[В. Войтик]

Цитата:

В. Войтик в сообщении #532783 писал(а):

В приведённой выше формуле я имел ввиду не полную производную по лагранжиану, а частную, согласно уравнениям Лагранжа. Вы это имели ввиду?

Тогда бы и писали частную.

Ну, не знал я как написать частную. И чего?

Цитата:

У меня впечатление, что вы смутно понимаете смысл объектов, с которыми пытаетесь работать, и действия совершаете полуосмысленно, случайно расставляя значки по бумаге.

Это у Вас только впечатление.

[В. Войтик]

Значит так. Принцип НД есть: Действие $\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{{2}}}}{Ldt}$ увеличивается при любой замене
$t\to t+\delta t(t)$, где $\delta t(t)$- малая функция t и $\delta t(t_1)=\delta t(t_2)=0$.
Имеем
$\delta {{\dot{q}}_{i}}=\delta \frac{d{{q}_{i}}}{dt}=-\frac{d{{q}_{i}}}{d{{t}^{2}}}d\delta t=-{{\dot{q}}_{i}}\frac{d\delta t}{dt}$

$\delta \int{L}dt=\int{\left( \frac{\partial L}{\partial t}\delta t+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\delta {{{\dot{q}}}_{i}} \right)}\ dt+\int{Ld\delta t=0}$
$=\int{\left( -\frac{dL}{dt}+\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{d}{dt}\left( {{{\dot{q}}}_{i}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}} \right)\delta {{{\dot{q}}}_{i}} \right)}\ dt\delta t=-\int{\left( \frac{dL}{dt}-\frac{\partial L}{\partial t}-{{{\ddot{q}}}_{i}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}-{{{\dot{q}}}_{i}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}} \right) \right)}\ dt\delta t=$

$=-\int{{{{\dot{q}}}_{i}}\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}} \right) \right)}\ dt\delta t=0$
Отсюда получаются уравнения Лагранжа.
Первым это придумал, насколько я знаю Родриг в 18старинном году.

[ИгорЪ]

В. Войтик
Вы просто находите как меняется действие при репараметризации траектории. Иногда действие при этом не меняются, например, действие свободной релят. частицы. В этом случае последняя строчка правильно даёт известное соотношение ортогональности $\dot{q}\dot{p}=0$. Но в нерелятивистском случае $L=mv^2/2$это ведь не так! Там действие не обладает репараметризационной инвариантностью. А насильное зануление этой вариации непонятно! В чем его смысл?

[В. Войтик]

Я понимаю всё это примерно так.
В классическом случае уравнения движения можно получить как при вариации 3-координат, так и вариацией временной координаты.
В релятивистском случае действие также минимально при вариации как 3-координат, так и временной координаты. Но одна (или 3) вариация(и) избыточна(ы).
Я думаю, что из нулевой части получившегося уравнения движения в 4-мерном виде тоже можно получить пространственную часть этого уравнения движения, поскольку дополнительная вариация по времени не приводит к появлению нового уравнения каким-то образом ограничивающего трёхмерное уравнение движения.

[В. Войтик]

В. Войтик в сообщении #532951 писал(а):

$S=-\int{{{{\dot{q}}}_{i}}\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}} \right) \right)}\ dt\delta t=0$
Отсюда получаются уравнения Лагранжа.

вообще-то я чушь написал, а меня никто не поправил. Не следуют отсюда уравнения Лагранжа.
просто потому, что возможно существует некоторый вектор $v_{i}$, что
$\dot{q_{i}}v_{i}=0$. Следовательно уравнения Лагранжа изменяться на этот вектор $v_{i}$.

[Munin]

Ну и зачем было вас поправлять (что было просто лень), когда вы и сами прекрасно справляетесь? Вы только не останавливайтесь, продолжайте. Сколько существует таких векторов?..

[Alex-Yu]

В. Войтик в сообщении #533820 писал(а):

вообще-то я чушь написал, а меня никто не поправил. Не следуют отсюда уравнения Лагранжа.

Естественно. Если делать замену переменной интегрирования правильно, то интеграл (любой интеграл!) при этом никогда не изменится. Из этого в принципе ничего не следует. Следует разве что то, что замена переменой сделана правильно

[ИгорЪ]

Alex-Yu в сообщении #533841 писал(а):

Из этого в принципе ничего не следует.

Ага, только немного повозившись с полной вариацией, вариацией формы и вариацией координат получишь теоремы Нетер.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #533827 писал(а):

Ну и зачем было вас поправлять (что было просто лень), когда вы и сами прекрасно справляетесь? Вы только не останавливайтесь, продолжайте. Сколько существует таких векторов?..

Омерзительный снобизм. Стыдно.

[Alex-Yu]

ИгорЪ в сообщении #533902 писал(а):

только немного повозившись с полной вариацией, вариацией формы и вариацией координат получишь теоремы Нетер.

Ничего подобного. Если Вы про сохранение энергии (частный случай теоремы Нетер), то там сдвиг траектории во времени, а не перепараметризация ТОЙ ЖЕ САМОЙ траектории. Да и поверхностные члены не нулевые, собственно из поверхностных членов теорема Нетер и "растет".

[В. Войтик]

Я просто рассуждал по аналогии с обычным варьированием. Там ведь тоже получается уравнение
{{\delta q}_{i}}\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}} \right) \right)=0$
Тогда для произвольных ${\delta q}_{i}$ следуют уравнения Лагранжа. Но $\dot{q}_{i}$ не является произвольной, как правильно сразу отметил Munin. Она определяется из решений уравнения движения.

[Alex-Yu]

В. Войтик в сообщении #533954 писал(а):

Там ведь тоже получается уравнение

Не получается. Если выкладки делать правильно, в частности не терять якобиан.

Но можно сделать не варьирование времени, я взять специальный вид варьирования траектории:

$$ q_i(t) \to q_i(t+\delta(t)) $$

С дельтой изчезающей на концах. Это никак не репараметризация траектории, о которой где-то выше шла речь. Относительно репараметризации действие инвариантно тождественно. Так вот, если взять такое специальное варьирование ТРАЕКТОРИИ, то тогда получится уравнение

$$ \dot{q}_i\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} -\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right)=0 $$

Это, конечно, не уравнения Лагранжа. Хотябы потому, что оно только одно. Но для одномерного случая, пожалуй, хватит. Некоторая паталогия в точках поворота не очень содержательна.

Сейчас возьму бумажку и проверю. А то делать варьирование в уме.... Так что подождите немного.

Да, все правильно.

[В. Войтик]

Alex-Yu в сообщении #534079 писал(а):

Не получается. Если выкладки делать правильно, в частности не терять якобиан.

Как это не получается? У Ландау вроде получилось.

[ИгорЪ]

Alex-Yu
не понимаю почему это не репараметризация