Проективный предел

[Joker_vD]

Упорядочим $\mathbb N$ по отношению делимости: $m\prec n$ если $m|n$. Рассмотрим группы $\mathbb Z_n=\mathbb Z/n\mathbb Z$, $n\in\mathbb N$ и набор гомоморфизмов $\varphi_{mn}\colon \mathbb Z_n \to \mathbb Z_m$ при $m\prec n$, действующих по правилу $\varphi_{mn}(a+n\mathbb Z)=a+m\mathbb Z$.

Выполняются следующие утверждения:
1) $\varphi_{mm}=\id$ для всех $m\in\mathbb N$,
2) $\varphi_{mp}=\varphi_{mn}\circ\varphi_{np}$ для всех $m,n,p\in\mathbb N$, что $m\prec n\prec p$.

Тогда мы имеем проективную систему, проективный предел $\underleftarrow{\lim}(\mathbb Z_n,\varphi_{ij})$ которой обозначим за $\hat{\mathbb Z}$.

Вопрос: $\mathbb Z \cong \hat{\mathbb Z}$? Я воспользовался конструкцией предела

$$\hat{\mathbb Z}=\left\{x\in \prod_{n\in\mathbb N} \mathbb Z_n \;\bigg|\; \varphi_{ij}(x_j)=x_i\quad\text{для всех }i,j\colon i\prec j\right\}$$

и построил гомоморфизм $f\colon \mathbb Z\to\hat{\mathbb Z},\;f(a)_n = a + n\mathbb Z$. Инъективность проверяется тривиально, и я уже имею изоморфизм $\mathbb Z\cong \langle f(1)\rangle$, но вот сюръективность... как показать, что $\langle f(1) \rangle = \hat{\mathbb Z}$?

[lofar]

Рассматриваемый вами предел равен прямому произведению колец целых $p$-адических чисел по всем простым $p$ (китайская теорема об остатках). Так что ваше вложение не будет эпиморфизмом.

[Joker_vD]

Кстати, о КТО — она верна для случая, когда мы рассматриваем бесконечное число идеалов?

Насчет того, что $\hat{\mathbb Z}=\prod\limits_{p\text{ --- простое}} \mathbf Z_p$ — как это доказывает, что $\mathbb Z\not\cong \hat{\mathbb Z}$? Если мое вложение — не эпиморфизм, то должен же быть элемент в $\hat{\mathbb Z}$ без прообраза в $\mathbb Z$, можно ли его как-то явно выписать (хоть один)?

-- Чт янв 26, 2012 23:16:15 --

Дело в том, что существует доказательство изоморфности. Верное или нет — не знаю, лично я его не видел.

[lofar]

Китайская теорема об остатках здесь применяется для конечного числа идеалов. Нужно доказать, что отображение вашего предела в прямое произведение колец $p$-адических чисел, получаемое проекцией (забываем в прямом произведении все компоненты кроме примарных) будет изоморфизмом.

Любое кольцо целых $p$-адических чисел континуально, поэтому изоморфизма с $\mathbb Z$ не получится.

[Joker_vD]

О. О-о-о. Спасибо огромное!

[Kallikanzarid]

lofar
Разве $\prod \mathbb{Z}/n$ не счетно?

[bot]

Конечно нет - это ведь декартово произведение, а не прямое. Выбираем в каждом множителе два элемента и вуаля, имеем бинарные бесконечные последовательности.

[Kallikanzarid]

bot
ЩИТО? Может быть, вы имеете ввиду свободное произведение? Но с чего бы ему появляться в проективном пределе?

-- Сб май 26, 2012 14:10:22 --

А, понял, и правда