Если Вам кажется, что Вы нашли контрпример, приведите его.
Да, прошу прощения, мне так кажется.
![$x=5^3\cdot7^5, y=19^2\cdot23, z=5\cdot11\cdot19^8\cdot41\cdot191\cdot881\cdot27406316160761$ $x=5^3\cdot7^5, y=19^2\cdot23, z=5\cdot11\cdot19^8\cdot41\cdot191\cdot881\cdot27406316160761$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/d/85df006293d09910400dc4473ad3e19e82.png)
Это пятая или шестая попытка. Сначала мне хотелось найти делитель 5.
С уважением.
Попробовал ввести Ваши числа в
maple. Вот программа и результат:
x:=5^3*7^5:
y:=19^2*23:
z:=x^4+x^3*y+x^2*y^2+x*y^3+y^4;
ifactor(z);
z := 19557829489996759233251981
(71) (241) (591919967473377041) (1931)
Посмотрите, пожалуйста, программу. Я правильно понял Ваш пример?
Кроме того, очевидно, что
![$x^4+x^3 y+x^2 y^2+x y^3+y^4$ $x^4+x^3 y+x^2 y^2+x y^3+y^4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/1/361cbb88339a85a755531b9bf5fd175b82.png)
при данных значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
не может делиться на 19 (поскольку
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
кратно 19, а
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
— нет).
Для того, чтобы
![$x^4+x^3 y+x^2 y^2+x y^3+y^4$ $x^4+x^3 y+x^2 y^2+x y^3+y^4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/1/361cbb88339a85a755531b9bf5fd175b82.png)
делилось на 5 достаточно чтобы
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
были сравнимы по модулю 5.
А вот можно ли добиться, чтобы это выражение делилось на
![$5^2$ $5^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/c/01c84ab27de581c329e5031359c27f5882.png)
— не знаю. Мне кажется, что нельзя, но я могу и ошибаться. Сейчас попробую выяснить в
maple ![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)
.
----------------------
Проверил. Действительно
![$x^4+x^3 y+x^2 y^2+x y^3+y^4$ $x^4+x^3 y+x^2 y^2+x y^3+y^4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/1/361cbb88339a85a755531b9bf5fd175b82.png)
не может быть кратно
![$5^2$ $5^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/c/01c84ab27de581c329e5031359c27f5882.png)
при взаимно простых
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
.