2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 10:49 


10/02/11
6786
Кривая на плоскости задана своей кривизной $\kappa(s)\in C[0,\infty)$; $s$ -- натуральный параметр. Доказать, что если $\inf_{s\ge 0}\kappa(s)>0$ и функция $\kappa$ монотонна то кривая ограничена.
(Если $\vec{r}(s)$ -- радиус-вектор кривой, то кривая называется ограниченной когда $\sup_{s\ge 0}|\vec{r}(s)|<\infty$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 17:57 
Заслуженный участник


13/12/05
4621
Параметризация кривой $x=\int \sin\alpha(s)ds, y=\int\cos\alpha(s) ds$, где $\alpha(s)=\int k(s) ds$. Функция $\alpha(s)$ монотонно возрастает. В интеграле для $x$ делаем замену, приняв за новую переменную $\alpha$, $d\alpha=kds$. Получим $x=\int\sin\alpha\frac{1}{k} d\alpha$. Функция $\frac{1}{k(\alpha)}$ монотонна по условию. По второй теореме о среднем получаем оценку $|x|\leqslant \frac{1}{k}\left|\int\sin\alpha d\alpha\right|\leqslant\frac{2}{\inf k}$ (это если $x(0)=0$)

Монотонность кривизны существенна, кстати. А то можно взять кривую типа проекции наклоненной винтовой линии.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
А если из $x(0)$ выпустить окружность радиуса $1/\inf k$ в направлении $\dot{x}(0)$...

Не будет ли наша кривая лежать целиком внутри этой окружности?

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 18:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4621
Наверняка будет

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 20:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Наверняка не обязательно. Если та спираль скручивается (т.е. инфимум кривизны достигается в начале траектории) -- то да, будет. Но если она, наоборот, раскручивается, то какую касательную окружность ни проводи, спираль будет просто вынуждена выскочить за её пределы -- иначе она просто не сможет раскрутиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
ewert в сообщении #530467 писал(а):
Но если она, наоборот, раскручивается, то какую касательную окружность ни проводи, спираль будет просто вынуждена выскочить за её пределы



радиус у окружности максимально велик... не выскочит

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 21:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
alcoholist в сообщении #530478 писал(а):
радиус у окружности максимально велик... не выскочит

Да даже если радиус той окружности бесконечен, т.е. если мы проведём касательную прямую в начале -- куда ей (спирали) деться с подводной лодки. Она ведь обязана будет обойти свою начальную точку "снаружи", ведь кривизна-то её ограничена снизу.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 21:39 


10/02/11
6786
Однако задачу можно решить и не интегрируя дифференциальные уравнения, что позволяет доказать аналогичную теорему в любом четномерном пространстве.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group