2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 10:49 


10/02/11
6786
Кривая на плоскости задана своей кривизной $\kappa(s)\in C[0,\infty)$; $s$ -- натуральный параметр. Доказать, что если $\inf_{s\ge 0}\kappa(s)>0$ и функция $\kappa$ монотонна то кривая ограничена.
(Если $\vec{r}(s)$ -- радиус-вектор кривой, то кривая называется ограниченной когда $\sup_{s\ge 0}|\vec{r}(s)|<\infty$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 17:57 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Параметризация кривой $x=\int \sin\alpha(s)ds, y=\int\cos\alpha(s) ds$, где $\alpha(s)=\int k(s) ds$. Функция $\alpha(s)$ монотонно возрастает. В интеграле для $x$ делаем замену, приняв за новую переменную $\alpha$, $d\alpha=kds$. Получим $x=\int\sin\alpha\frac{1}{k} d\alpha$. Функция $\frac{1}{k(\alpha)}$ монотонна по условию. По второй теореме о среднем получаем оценку $|x|\leqslant \frac{1}{k}\left|\int\sin\alpha d\alpha\right|\leqslant\frac{2}{\inf k}$ (это если $x(0)=0$)

Монотонность кривизны существенна, кстати. А то можно взять кривую типа проекции наклоненной винтовой линии.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
А если из $x(0)$ выпустить окружность радиуса $1/\inf k$ в направлении $\dot{x}(0)$...

Не будет ли наша кривая лежать целиком внутри этой окружности?

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 18:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
Наверняка будет

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 20:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Наверняка не обязательно. Если та спираль скручивается (т.е. инфимум кривизны достигается в начале траектории) -- то да, будет. Но если она, наоборот, раскручивается, то какую касательную окружность ни проводи, спираль будет просто вынуждена выскочить за её пределы -- иначе она просто не сможет раскрутиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
ewert в сообщении #530467 писал(а):
Но если она, наоборот, раскручивается, то какую касательную окружность ни проводи, спираль будет просто вынуждена выскочить за её пределы



радиус у окружности максимально велик... не выскочит

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 21:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
alcoholist в сообщении #530478 писал(а):
радиус у окружности максимально велик... не выскочит

Да даже если радиус той окружности бесконечен, т.е. если мы проведём касательную прямую в начале -- куда ей (спирали) деться с подводной лодки. Она ведь обязана будет обойти свою начальную точку "снаружи", ведь кривизна-то её ограничена снизу.

 Профиль  
                  
 
 Re: кривая на плоскости
Сообщение23.01.2012, 21:39 


10/02/11
6786
Однако задачу можно решить и не интегрируя дифференциальные уравнения, что позволяет доказать аналогичную теорему в любом четномерном пространстве.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group