кривая на плоскости

[Oleg Zubelevich]

Кривая на плоскости задана своей кривизной $\kappa(s)\in C[0,\infty)$; $s$ -- натуральный параметр. Доказать, что если $\inf_{s\ge 0}\kappa(s)>0$ и функция $\kappa$ монотонна то кривая ограничена.
(Если $\vec{r}(s)$ -- радиус-вектор кривой, то кривая называется ограниченной когда $\sup_{s\ge 0}|\vec{r}(s)|<\infty$.)

[Padawan]

Параметризация кривой $x=\int \sin\alpha(s)ds, y=\int\cos\alpha(s) ds$, где $\alpha(s)=\int k(s) ds$. Функция $\alpha(s)$ монотонно возрастает. В интеграле для $x$ делаем замену, приняв за новую переменную $\alpha$, $d\alpha=kds$. Получим $x=\int\sin\alpha\frac{1}{k} d\alpha$. Функция $\frac{1}{k(\alpha)}$ монотонна по условию. По второй теореме о среднем получаем оценку $|x|\leqslant \frac{1}{k}\left|\int\sin\alpha d\alpha\right|\leqslant\frac{2}{\inf k}$ (это если $x(0)=0$)

Монотонность кривизны существенна, кстати. А то можно взять кривую типа проекции наклоненной винтовой линии.

[alcoholist]

А если из $x(0)$ выпустить окружность радиуса $1/\inf k$ в направлении $\dot{x}(0)$...

Не будет ли наша кривая лежать целиком внутри этой окружности?

[Padawan]

Наверняка будет

[ewert]

Наверняка не обязательно. Если та спираль скручивается (т.е. инфимум кривизны достигается в начале траектории) -- то да, будет. Но если она, наоборот, раскручивается, то какую касательную окружность ни проводи, спираль будет просто вынуждена выскочить за её пределы -- иначе она просто не сможет раскрутиться.

[alcoholist]

ewert в сообщении #530467 писал(а):

Но если она, наоборот, раскручивается, то какую касательную окружность ни проводи, спираль будет просто вынуждена выскочить за её пределы

радиус у окружности максимально велик... не выскочит

[ewert]

alcoholist в сообщении #530478 писал(а):

радиус у окружности максимально велик... не выскочит

Да даже если радиус той окружности бесконечен, т.е. если мы проведём касательную прямую в начале -- куда ей (спирали) деться с подводной лодки. Она ведь обязана будет обойти свою начальную точку "снаружи", ведь кривизна-то её ограничена снизу.

[Oleg Zubelevich]

Однако задачу можно решить и не интегрируя дифференциальные уравнения, что позволяет доказать аналогичную теорему в любом четномерном пространстве.