На отрезок бросают две точки

[Alex_CAPS]

Давайте тогда начнём поиск функции распределения с самого начала.
Мы определили функцию

alcoholist в сообщении #529716 писал(а):

$$ F(a)=P(|x-y|\le a) $$

Мы изобразили область

Цитата:

$\{(x,y)\in[0,d]\times[0,d] ~:~ |x-y|<a\}$

и определили вероятность попадания точки в область между прямыми как отношение площадей.
Дальнейшие мои действия ни одним из вас не одобрялись, и теперь у меня нету даже догадок...
Терзают вопросы "как быть?" и главное "Что делать?!"

[ewert]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #530094 писал(а):

Формулу

$$ \mbox{матожидание}\,=\frac{1}{d^2}\int_0^d\int_0^d|x-y|dxdy $$

надо еще обосновывать

Строго говоря -- не надо, и ТС, пусть и с некоторыми мучениями, но уже осознал, почему она. Другое дело, что она не особо так выгодна для вычислений, да и функцию распределения-то так и так находить заставляют.

[Alex_CAPS]

(Оффтоп)

давайте с функцией распределения разберёмся до конца

[ewert]

Alex_CAPS в сообщении #530116 писал(а):

давайте с функцией распределения разберёмся до конца

Давайте. Начинайте разбираться -- выпишите её аккуратно и до конца: на каких промежутках чему в точности она равна.

[Alex_CAPS]

Повторюсь
$ F(a)=P(|x-y|\le a) $
Данную вероятность находим как отношение площадей:
$F(a)=P(|x-y|\le a) = \frac{d^2 - (d-a)^2}{d^2}= \frac{d^2 - d^2 +2ad - a^2}{d^2} = 2\frac{a}{d} - (\frac{a}{d})^2$
Получаем ф-ию, возрастающую от 0 до 1 на интервале $[0, d]$

[PAV]

Правильно; для совсем уже полного ответа нужно еще написать, чему равна $F(a)$ при $a<0$ и при $a>d$.

[Alex_CAPS]

PAV в сообщении #530491 писал(а):

для совсем уже полного ответа нужно еще написать, чему равна $F(a)$ при $a<0$ и при $a>d$.

Честно говоря, считаю это излишним, т.к. по условию задачи точки бросаются на отрезок длиной $d$

-- 23.01.2012, 22:04 --

(Оффтоп)

Считаю тему закрытой. Всем большое спасибо!

[ewert]

Alex_CAPS в сообщении #530504 писал(а):

Честно говоря, считаю это излишним, т.к. по условию задачи точки бросаются на отрезок длиной $d$

На будущее: напрасно Вы так считаете. Все Ваши проблемы -- именно из-за непривычки к точному оформлению своих замечательных идей.

[xolodec]

А можно было матожидание найти следующим образом:

$$2\int_0^d\int_x^d (y-x) \cdot p_{X,Y}~ dy dx = 2\int_0^d\int_x^d (y-x) \cdot \frac{1}{d^2}~ dy dx = 2 \cdot \frac{d}{6} = \frac{d}{3}$$

Это первое, что пришло мне в голову.
Объяснить первую двойку можно следующим образом, мы полагаем, что $x<y$, что, верно только в половине случаев.
Или так нельзя вообще делать и обязательно нужно брать от всего модуля $|y-x|$?