На отрезок бросают две точки

[Alex_CAPS]

Приветствую!
Решаю задачу:
На отрезок длины $d$ бросают две точки.
Найти а) функцию распределения расстояния между точкам
б) Математическое ожидание этого расстояния.

-- 21.01.2012, 20:42 --

Мат. ожидание нашёл довольно успешно, взяв двойной интеграл от $|x-y|$. В результате получил $\frac{d^3}{3}$
Столкнулся с проблемами при нахождении функции распределения. Пришло в голову интерпретировать условие как бросание точки в квадрат со стороной $d$.
Каков должен быть мой следующий шаг?

[mihailm]

В начале определение функции распределения надо написать, для ее вычисления воспользоваться геометрической вероятностью, множество элементарных событий квадрат и смотрим площадь соответствующего подмножества

[Alex_CAPS]

т.е. будет выглядеть так?
$F = P(x < a; y < a) = P(xy<a^2)$

[мат-ламер]

Любопытно, что матожидание пропорционально кубу длины отрезка, а не квадрату.

[alcoholist]

Не забывайте, что Ваша случайная величина (назовем ее $X$) принимает значения от 0 до 1... Вот и считайте $F(a)=P(X\le a)$

[Alex_CAPS]

мат-ламер в сообщении #529649 писал(а):

Любопытно, что матожидание пропорционально кубу длины отрезка, а не квадрату.

Демонстрирую:
$M|\xi - \eta|= \int \limits _0^d \int \limits _0^d|x-y|dxdy=2 \int \limits _0^d \int \limits _0^d (y-x)dxdy=2 \int \limits _0^d \int \limits _0^y ydxdy - 2\int \limits _0^d \int \limits _0^y xdxdy= 2\int \limits _0^d ydy \bigg| _0^y - 2\int \limits_0^d dy\cdotp \frac{x^2}{2}\bigg|_0^y=2\int \limits_0^d y^2dy-\int \limits_0^d y^2dy=\frac{y^3}{3}\bigg|_0^d=\frac{d^3}{3} $

[ewert]

мат-ламер в сообщении #529649 писал(а):

Любопытно, что матожидание пропорционально кубу длины отрезка, а не квадрату.

Матожидание не может иметь иную размерность, чем каждая из координат.

Alex_CAPS в сообщении #529653 писал(а):

$M|\xi - \eta|= \int \limits _0^d \int \limits _0^d|x-y|dxdy$

Ну уже и неправда.

[Alex_CAPS]

alcoholist в сообщении #529652 писал(а):

Не забывайте, что Ваша случайная величина (назовем ее $X$) принимает значения от 0 до 1... Вот и считайте $F(a)=P(X\le a)$

не до одного, а до $d$
За случайную величину, которую мы обозначаем через $X$ предлагаете взять расстояние между точками?

[Null]

А функция плотности какая? Вы на нее домножить забыли.

[alcoholist]

Конечно, до $d$.

Если вычислять матожидание как Вы, то матожидание функции $X=1$ будет не $1$, а $d^2$:(

[Alex_CAPS]

Null в сообщении #529658 писал(а):

А функция плотности какая? Вы на нее домножить забыли.

Ах да!
Очевидно распределение равномерное с плотностью $\frac{1}{d}$
Тогда $M|\xi - \eta| = \frac{d^2}{3}$

[ewert]

Кстати, насчёт функции распределения. Если хоть немножко внимательно всмотреться в картинку, то становится ясно, что функция распределения не может быть (на отрезке от нуля до длины отрезка) ничем иным, кроме как $F(x)=1-\alpha(d-x)^2$. Ну а уж альфа после этого мгновенно получается из условия сшивания в нуле. Т.е. считать ничего фактически и не нужно.

-- Сб янв 21, 2012 22:49:38 --

Alex_CAPS в сообщении #529662 писал(а):

с плотностью $\frac{1}{d}$
Тогда $M|\xi - \eta| = \frac{d^2}{3}$

И снова с размерностью всё не слава богу.

[PAV]

Alex_CAPS в сообщении #529644 писал(а):

т.е. будет выглядеть так?
$F = P(x < a; y < a) = P(xy<a^2)$

Второе равенство неверно.

-- Сб янв 21, 2012 22:54:05 --

Alex_CAPS в сообщении #529662 писал(а):

Тогда $M|\xi - \eta| = \frac{d^2}{3}$

Очевидно же что величина, мат. ожидание которой Вы считаете, не может быть больше чем $d$. А полученное Вами значение - запросто может.

-- Сб янв 21, 2012 22:54:50 --

Ну и соображение о размерностях тоже никто не отменял.

[Alex_CAPS]

PAV в сообщении #529667 писал(а):

Очевидно же что величина, мат. ожидание которой Вы считаете, не может быть больше чем $d$. А полученное Вами значение - запросто может.

Корень зла в плотности распределения? А точнее в отсутствии квадрата...

-- 21.01.2012, 22:01 --

PAV в сообщении #529667 писал(а):

Второе равенство неверно.

Согласен

[PAV]

Alex_CAPS в сообщении #529673 писал(а):

Корень зла в плотности распределения? А точнее в отсутствии квадрата...

да