2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение21.01.2012, 22:20 
Аватара пользователя


18/11/11
54
Применив теорему о пределе монотонной последовательности,доказать, что существуют конечные или бесконечные пределы данных последовательностей.
$x_1>1,x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac1{x_n})$
Вначале исследую пос-ть на мон-ть: (даже выписывая первые члены пос-ти ясно, что она возрастающая)
$x_{n+1}/x_n=1/2+\frac1{2x_n}$ т.к. x_1>1 то $x_{n+1}/x_n<1$
$x_{n+1}>x_n$
Пос-ть возрастающая.
Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=1/2(\lim\limits_{n\to\infty}x_n+\frac1{\lim\limits_{n\to\infty}x_n})$ запишется $\frac{a^2-1}{2a}=0; a \not=0; a=\pm1$
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ точно не равно -1 и 1 тоже не может быть равен, т.к. пос-ть возрастающая и x_1>1.
Как решать? Объясните,пожалуйста, в чем моя ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение21.01.2012, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Вы, наверное, имели в виду — убывающая?

Ведь из $x_{n+1}/x_n<1$ следует $x_{n+1}>x_n$ наоборот.

И не надо предполагать существование предела, ведь его не надо находить. Достаточно доказать монотонность и ограниченность с соответствующей стороны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение21.01.2012, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
shady в сообщении #529685 писал(а):
$x_{n+1}/x_n=1/2+\frac1{2x_n}$ т.к. x_1>1 то $x_{n+1}/x_n<1$

там $x_n^2$ в знаменателе и $x_2<x_1$, поэтому про $x_3$ отсюда ничего нельзя заключить.

Вы возьмите $x_1=2$ и поэкспериментируйте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 13:02 
Аватара пользователя


18/11/11
54
gris в сообщении #529690 писал(а):
Вы, наверное, имели в виду — убывающая?

Ведь из $x_{n+1}/x_n<1$ следует $x_{n+1}>x_n$ наоборот.


Точно, пос-ть убывающяя. В условии сказано, что первый член последовательности больше единицы, об остальных ничего не известно. Т.к. она убывающяя, то ее предел стремиться к -1. Так?

-- 22.01.2012, 14:03 --

gris в сообщении #529690 писал(а):
Достаточно доказать монотонность и ограниченность с соответствующей стороны.

И да, она ограничена снизу -1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Ну так что же ещё? Монотонно убывает и ограничена снизу. Значит, имеет передел.
А доказывать убывание и ограниченность именно плюс единицей (иначе не докажете убывания) надо совместно, по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 18:59 
Аватара пользователя


18/11/11
54
gris в сообщении #529932 писал(а):
А доказывать убывание и ограниченность именно плюс единицей (иначе не докажете убывания) надо совместно, по индукции.

Т.е. мое доказательство не убедительно(даже если я выпишу первые члены пос-ти) и мне нужно воспользоваться методом математической индукции?
О Боже, я его ненавижу! :x
А нельзя после всех моих мытарств просто записать: "Ответ:$\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=-1$"? Это не будет считаться решением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
shady в сообщении #529979 писал(а):
О Боже, я его ненавижу! :x
Так этот метод, более чем какой-либо другой, можно считать божественным. Когда Вы подготовили базу и шаг индукции, Вы обращаетесь к небесам, и там совершается бесконечное количество логических выводов за конечное время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 20:03 
Аватара пользователя


18/11/11
54
svv в сообщении #529989 писал(а):
Так этот метод, более чем какой-либо другой, можно считать божественным. Когда Вы подготовили базу и шаг индукции, Вы обращаетесь к небесам, и там совершается бесконечное количество логических выводов за конечное время.

Тогда посоветуйте литературу на нормальном языке с большим количеством примеров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 20:06 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
shady в сообщении #530004 писал(а):
Тогда посоветуйте литературу на нормальном языке с большим количеством примеров.

Возьмите в качестве задачника - задачник Демидовича. Там первые несколько десятков номеров на мат. индукцию. Решайте ее. В чём проблема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
shady, предел не минус единица. Даже с учётом исправлений доказательство сырое. Идея хорошая. И даже бросается в глаза сумма числа и обратного к нему. А эта сумма ограничена снизу для положительных чисел. Покажите положительность.
В общем, по индукции проще всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 20:32 
Аватара пользователя


18/11/11
54
gris в сообщении #530014 писал(а):
В общем, по индукции проще всего.

Нет, будь проклят м.м.и! :x Не могу придумать никакого другого способа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 20:40 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
shady
а чем Вам не нравится мат. индукция? Как сказал уважаемый svv
это идеальный способ для доказательства многих утверждений, которые базируются на множестве натуральных чисел :!:

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 20:46 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм

(Оффтоп)

shady в сообщении #530037 писал(а):
Нет, будь проклят м.м.и! :x Не могу придумать никакого другого способа.

For those who hates induction, here is a theorem: Suppose $S$ is a subset of positive integers with the following properties:
(1) $1\in S$.
(2) If $n\geqslant 1$ and $n\in S$, then $n+1\in S$.
Then $S=\mathbb{N}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 20:59 
Аватара пользователя


18/11/11
54
В условии x1>1 т.е. здесь задан первый шаг индукции, когда пусть n=1? Я не могу понять как применить его.

-- 22.01.2012, 22:13 --

1)пусть n=1, x1>1
2)путь утверждение верно при n=k из него следует, что утверждение верно при n=k+1
Что? Объясните как это применить тут, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?
Сообщение22.01.2012, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Да можно и без индукции. Первое: все члены последовательности положительные числа. Второе: все они больше 1. Третье: написанное Вами отношение меньше 1. Отсюда следует монотонное убывание, ограниченност снизу и, следовательно, существование предела. Вот формально докажите каждый пункт и будет решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group