Выяснить существуют ли конечные или беск. пределы пос-ей?

[shady]

Применив теорему о пределе монотонной последовательности,доказать, что существуют конечные или бесконечные пределы данных последовательностей.
$x_1>1,x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac1{x_n})$
Вначале исследую пос-ть на мон-ть: (даже выписывая первые члены пос-ти ясно, что она возрастающая)
$x_{n+1}/x_n=1/2+\frac1{2x_n}$ т.к. x_1>1 то $x_{n+1}/x_n<1$
$x_{n+1}>x_n$
Пос-ть возрастающая.
Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=1/2(\lim\limits_{n\to\infty}x_n+\frac1{\lim\limits_{n\to\infty}x_n})$ запишется $\frac{a^2-1}{2a}=0; a \not=0; a=\pm1$
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ точно не равно -1 и 1 тоже не может быть равен, т.к. пос-ть возрастающая и x_1>1.
Как решать? Объясните,пожалуйста, в чем моя ошибка?

[gris]

Вы, наверное, имели в виду — убывающая?

Ведь из $x_{n+1}/x_n<1$ следует $x_{n+1}>x_n$ наоборот.

И не надо предполагать существование предела, ведь его не надо находить. Достаточно доказать монотонность и ограниченность с соответствующей стороны.

[alcoholist]

shady в сообщении #529685 писал(а):

$x_{n+1}/x_n=1/2+\frac1{2x_n}$ т.к. x_1>1 то $x_{n+1}/x_n<1$

там $x_n^2$ в знаменателе и $x_2<x_1$, поэтому про $x_3$ отсюда ничего нельзя заключить.

Вы возьмите $x_1=2$ и поэкспериментируйте.

[shady]

gris в сообщении #529690 писал(а):

Вы, наверное, имели в виду — убывающая?

Ведь из $x_{n+1}/x_n<1$ следует $x_{n+1}>x_n$ наоборот.

Точно, пос-ть убывающяя. В условии сказано, что первый член последовательности больше единицы, об остальных ничего не известно. Т.к. она убывающяя, то ее предел стремиться к -1. Так?

-- 22.01.2012, 14:03 --

gris в сообщении #529690 писал(а):

Достаточно доказать монотонность и ограниченность с соответствующей стороны.

И да, она ограничена снизу -1.

[gris]

Ну так что же ещё? Монотонно убывает и ограничена снизу. Значит, имеет передел.
А доказывать убывание и ограниченность именно плюс единицей (иначе не докажете убывания) надо совместно, по индукции.

[shady]

gris в сообщении #529932 писал(а):

А доказывать убывание и ограниченность именно плюс единицей (иначе не докажете убывания) надо совместно, по индукции.

Т.е. мое доказательство не убедительно(даже если я выпишу первые члены пос-ти) и мне нужно воспользоваться методом математической индукции?
О Боже, я его ненавижу!
А нельзя после всех моих мытарств просто записать: "Ответ:$\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=-1$"? Это не будет считаться решением?

[svv]

shady в сообщении #529979 писал(а):

О Боже, я его ненавижу!

Так этот метод, более чем какой-либо другой, можно считать божественным. Когда Вы подготовили базу и шаг индукции, Вы обращаетесь к небесам, и там совершается бесконечное количество логических выводов за конечное время.

[shady]

svv в сообщении #529989 писал(а):

Так этот метод, более чем какой-либо другой, можно считать божественным. Когда Вы подготовили базу и шаг индукции, Вы обращаетесь к небесам, и там совершается бесконечное количество логических выводов за конечное время.

Тогда посоветуйте литературу на нормальном языке с большим количеством примеров.

[Whitaker]

shady в сообщении #530004 писал(а):

Тогда посоветуйте литературу на нормальном языке с большим количеством примеров.

Возьмите в качестве задачника - задачник Демидовича. Там первые несколько десятков номеров на мат. индукцию. Решайте ее. В чём проблема?

[gris]

shady, предел не минус единица. Даже с учётом исправлений доказательство сырое. Идея хорошая. И даже бросается в глаза сумма числа и обратного к нему. А эта сумма ограничена снизу для положительных чисел. Покажите положительность.
В общем, по индукции проще всего.

[shady]

gris в сообщении #530014 писал(а):

В общем, по индукции проще всего.

Нет, будь проклят м.м.и! Не могу придумать никакого другого способа.

[Whitaker]

shady
а чем Вам не нравится мат. индукция? Как сказал уважаемый svv
это идеальный способ для доказательства многих утверждений, которые базируются на множестве натуральных чисел

[gefest_md]

(Оффтоп)

shady в сообщении #530037 писал(а):

Нет, будь проклят м.м.и! Не могу придумать никакого другого способа.

For those who hates induction, here is a theorem: Suppose $S$ is a subset of positive integers with the following properties:
(1) $1\in S$.
(2) If $n\geqslant 1$ and $n\in S$, then $n+1\in S$.
Then $S=\mathbb{N}$.

[shady]

В условии x1>1 т.е. здесь задан первый шаг индукции, когда пусть n=1? Я не могу понять как применить его.

-- 22.01.2012, 22:13 --

1)пусть n=1, x1>1
2)путь утверждение верно при n=k из него следует, что утверждение верно при n=k+1
Что? Объясните как это применить тут, пожалуйста.

[gris]

Да можно и без индукции. Первое: все члены последовательности положительные числа. Второе: все они больше 1. Третье: написанное Вами отношение меньше 1. Отсюда следует монотонное убывание, ограниченност снизу и, следовательно, существование предела. Вот формально докажите каждый пункт и будет решение.