2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить предел
Сообщение10.02.2007, 12:04 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть f(x) удовлетворяет условию $0<f(x)<x, \ 0<x<a, \ f(x)=x-cx^2+O(x^3), x\to 0$. Так как с>0 заменой g(x)=cf(x/c) сводится к случаю с=1, будем считать, что с=1.
Определим рекурентно последовательности $0<x_0<a, \ x_{n+1}=f(x_n), \ y_n=\frac{1}{x_n}-n-ln(n+1).$
Доказать, что существует предел $$\lim_{n\to \infty }y_n$$ и вычислить его.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Руст
В задании нет ошибки? У меня получается, что если $f(x)=x-x^2+kx^3+o(x^3)$, то $\frac1{x_n}=n+(1-k)\ln n+o(\ln n).$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 12:53 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Действительно, k влияет члену перед ln(n). Первоначально мне дали f(x)=x-x^2. Я вычислил этот предел и полагал, что следующие члены в разложении не влияют. Для этого случая надо вычислить предел для последовательности $y_n=\frac{1}{x_n}-n+(k-1)ln n, n>1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 13:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Тогда надо уточнить член $o(x^3)$, поскольку в общем случае $y_n=o(\ln n)$ нельзя заменить более сильной оценкой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 13:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Этот член пределу точно не влияет, лишь бы был $f(x)=x-x^2+kx^3+O(x^{3+\epsilon})$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Мне нравится Ваше общение. Когда задачу постит Руст её решает RIP, а когда задачу постит RIP, то её первым решает Руст.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 17:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Задачу я еще не решил. Пока не знаю, как найти предел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 22:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
К сожалению я купился на тривиальной задаче. Естественно, что предел зависит как от хвостов, так и от начальных значений. Для этого достаточно рассмотреть другую последовательность с начальным условием x(k) в качестве x(0). Соответственно предел увеличится на k. Единственное, что верно, то, что предел существует при любых начальных условиях и при любых хвостовых членах в разложении.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.02.2007, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Блин, а я уж подумал, что его можно вычислить. Существование предела тривиально.
Во-первых, из условий, положенных на $f(x)$, следует, что $x_n\to0$. Далее,
$$\frac1{x_{n+1}}=\frac1{f(x_n)}=\frac1{x_n}+1+(1-k)x_n+O(x_n^{1+\varepsilon})$$
Поскольку $x_n\to0$, то $\frac1{x_{n+1}}=\frac1{x_n}+1+o(1)$, откуда $\frac1{x_n}=n+o(n)$. Это в свою очередь дает $x_n=\frac1n+o(\frac1n)$, поэтому
$$\frac1{x_{n+1}}=\frac1{x_n}+1+\frac{1-k}n+o(\frac1n)$$
Отсюда $\frac1{x_n}=n+(1-k)\ln n+o(\ln n)$, т.е. $x_n=\frac1n+O(\frac{\ln n}{n^2})$.
В частности, ряды $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n-\ln(1+\frac1n)|$ и $\sum_{n=1}^{\infty}x_n^{1+\varepsilon}$ сходятся.
Поскольку $y_{n+1}-y_n=(1-k)(x_n-\ln(1+\frac1n))+O(x_n^{1+\varepsilon})$, то посл-ть $y_n$ сходится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group