Вычислить предел

[Руст]

Пусть f(x) удовлетворяет условию $0<f(x)<x, \ 0<x<a, \ f(x)=x-cx^2+O(x^3), x\to 0$. Так как с>0 заменой g(x)=cf(x/c) сводится к случаю с=1, будем считать, что с=1.
Определим рекурентно последовательности $0<x_0<a, \ x_{n+1}=f(x_n), \ y_n=\frac{1}{x_n}-n-ln(n+1).$
Доказать, что существует предел

$$\lim_{n\to \infty }y_n$$

и вычислить его.

[RIP]

Руст
В задании нет ошибки? У меня получается, что если $f(x)=x-x^2+kx^3+o(x^3)$, то $\frac1{x_n}=n+(1-k)\ln n+o(\ln n).$

[Руст]

Действительно, k влияет члену перед ln(n). Первоначально мне дали f(x)=x-x^2. Я вычислил этот предел и полагал, что следующие члены в разложении не влияют. Для этого случая надо вычислить предел для последовательности $y_n=\frac{1}{x_n}-n+(k-1)ln n, n>1.$

[RIP]

Тогда надо уточнить член $o(x^3)$, поскольку в общем случае $y_n=o(\ln n)$ нельзя заменить более сильной оценкой.

[Руст]

Этот член пределу точно не влияет, лишь бы был $f(x)=x-x^2+kx^3+O(x^{3+\epsilon})$.

[Capella]

Мне нравится Ваше общение. Когда задачу постит Руст её решает RIP, а когда задачу постит RIP, то её первым решает Руст.

[RIP]

Задачу я еще не решил. Пока не знаю, как найти предел.

[Руст]

К сожалению я купился на тривиальной задаче. Естественно, что предел зависит как от хвостов, так и от начальных значений. Для этого достаточно рассмотреть другую последовательность с начальным условием x(k) в качестве x(0). Соответственно предел увеличится на k. Единственное, что верно, то, что предел существует при любых начальных условиях и при любых хвостовых членах в разложении.

[RIP]

Блин, а я уж подумал, что его можно вычислить. Существование предела тривиально.
Во-первых, из условий, положенных на $f(x)$, следует, что $x_n\to0$. Далее,

$$\frac1{x_{n+1}}=\frac1{f(x_n)}=\frac1{x_n}+1+(1-k)x_n+O(x_n^{1+\varepsilon})$$

Поскольку $x_n\to0$, то $\frac1{x_{n+1}}=\frac1{x_n}+1+o(1)$, откуда $\frac1{x_n}=n+o(n)$. Это в свою очередь дает $x_n=\frac1n+o(\frac1n)$, поэтому

$$\frac1{x_{n+1}}=\frac1{x_n}+1+\frac{1-k}n+o(\frac1n)$$

Отсюда $\frac1{x_n}=n+(1-k)\ln n+o(\ln n)$, т.е. $x_n=\frac1n+O(\frac{\ln n}{n^2})$.
В частности, ряды $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n-\ln(1+\frac1n)|$ и $\sum_{n=1}^{\infty}x_n^{1+\varepsilon}$ сходятся.
Поскольку $y_{n+1}-y_n=(1-k)(x_n-\ln(1+\frac1n))+O(x_n^{1+\varepsilon})$, то посл-ть $y_n$ сходится.