Доказать неравенство, а следом вложение пространств

[raiym]

Доказать, что для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке $[0,1]$ функции $x(t)$ выполнено неравенство

$$ \max_{t\in [0,1]} \leq 2^{1-1/p}\left(\int_0^1|x'(t)|^p dt + \int^1_0|x(t)|^p dt\right)^{1/p}$$

для любого $p\in [1, +\infty]$. Пользуясь этим, доказать теорему: пространство $W^1_p[0,1]$ вложено в пространство $C[0,1]$.
Это теорема Харди-Литллвуда (1928). Не знаю, как решать.

[Carden]

Не знаю, что такое $$W^p_1[0,1]$, поэтому, напишите, пожалуйста, неравенство полностью.

[Dan B-Yallay]

$W^p_1[0,1]$ - это пространство Соболева.

[Oleg Zubelevich]

$u(y)-u(x)=(y-x)\int_0^1u'(x+s(y-x))ds$

[raiym]

Oleg Zubelevich, не понимаю как это использовать

[raiym]

Oleg Zubelevich в сообщении #521664 писал(а):

$u(y)-u(x)=(y-x)\int_0^1u'(x+s(y-x))ds$

Не понимаю как это использовать :(

[Carden]

Carden в сообщении #521654 писал(а):

напишите, пожалуйста, неравенство полностью

[raiym]

Это полное. Как в условии

[ewert]

Будьте проще, товарищи:

$f(x)=f(y)+\int\limits_y^xf'(t)\,dt \quad \Longrightarrow \quad |f(x)|\leqslant|f(y)|+\int\limits_0^1|f'(t)|\,dt.$

Теперь просто проинтегрируйте это неравенство по игрекам при любом фиксируемом иксе -- и мгновенно получится то, что нужно, для случая $p=1$:

$\max\limits_x|f(x)|\leqslant\int\limits_0^1|f(y)|\,dy+\int\limits_0^1|f'(t)|\,dt.$

По-хорошему, на этом следовало бы и остановиться, т.к. это -- наиболее сильный результат. Требуемое же неравенство получается просто его огрублением путём наложения двух бантиков, т.е. двукратным применением неравенства Гёльдера: сперва (в интегральной форме) к каждому из интегралов, потом (в форме для сумм) к сумме полученных интегралов. Из последнего перехода та степень двойки и выползает -- как "сопряжённая" норма вектора $(1;1)$.

Справедливости ради: при $p>1$ последнее неравенство запросто можно усилить, оценив интегралы, связанные с производными, немножко аккуратнее. Но это влияет лишь на константы и потому не имеет принципиального значения.

[raiym]

При первом применении неравенства гельдера, какие две функции брать?

[Dan B-Yallay]

raiym в сообщении #524846 писал(а):

При первом применении неравенства гельдера, какие две функции брать?

Берете $f=1\cdot f$. Вот Вам и две функции.

-- Пн янв 09, 2012 09:08:34 --

[raiym]

ewert в сообщении #523969 писал(а):

Будьте проще, товарищи:

$f(x)=f(y)+\int\limits_y^xf'(t)\,dt \quad \Longrightarrow \quad |f(x)|\leqslant|f(y)|+\int\limits_0^1|f'(t)|\,dt.$

Не могу понять. Почему верен этот переход (а именно изменение пределов интегрирования).

-- 19.01.2012, 23:17 --

ewert в сообщении #523969 писал(а):

Требуемое же неравенство получается просто его огрублением путём наложения двух бантиков, т.е. двукратным применением неравенства Гёльдера: сперва (в интегральной форме) к каждому из интегралов, потом (в форме для сумм) к сумме полученных интегралов.

С первым неравенством Гельдера все понятно. А вот, что за неравенство в форме для сумм и как его применять не понятно. Подскажите пожалуйста.

-- 19.01.2012, 23:26 --

При применении Н.Г. во второй раз из-за $1/p+1/q=1$ получается $2^{1/q} = 2^{1-1/p}$ Это понятно. Спасибо большое. Непонятным осталось изменение пределов интегрирования.

[Dan B-Yallay]

raiym в сообщении #529061 писал(а):

Непонятным осталось изменение пределов интегрирования.

$$y,x \in [0,1], \quad |f'(t)|\geq 0 \quad \forall t$$

,

[ewert]

raiym в сообщении #529061 писал(а):

Непонятным осталось изменение пределов интегрирования.

Сначала оцениваем всё по модулям, а потом просто огрубляем оценку, раздувая промежуток интегрирования до максимального.

Более точная (при $p>1$) оценка получится, если сначала проинтегрировать исходное тождество по игрекам, изменить порядок интегрирования в полученном двойном интеграле от производной и только потом оценивать по модулю и применять неравенство Гёльдера.