Хорошие числа.

[Sender]

Потому что

Цитата:

множество хороших чисел - наименьшее по включению множество, удовлетворяющее этим требованиям.

[kw_artem]

vorvalm в сообщении #528824 писал(а):

Тогда почему нет в списке числа 31?

Потому что 31-2=29, 29 -- по условию задачи есть произведение 2 хороших чисел, т.е. имеем единственное разложение :1 и 29. И 1, и 29 долны быть хорошими числами. Но как уже говорилось выше 29 хорошим не является.

[vorvalm]

Тогда к какому множеству принадлежат числа $29\cdot43+2=1279$ ?

[kw_artem]

vorvalm в сообщении #528828 писал(а):

Тогда к какому множеству принадлежат числа ?

29 не является хорошим значит и число 1279 тоже не принадлежит множеству хороших чисел.
Вообще любое произведение хорошего числа и 29 не даст хорошего

[Руст]

kw_artem в сообщении #528833 писал(а):

vorvalm в сообщении #528828 писал(а):

Тогда к какому множеству принадлежат числа ?

29 не является хорошим значит и число 1279 тоже не принадлежит множеству хороших чисел.
Вообще любое произведение хорошего числа и 29 не даст хорошего

Точнее, число $ab+2$ не хорошее, если хотя бы одно из чисел, $a,b$ не хорошее. Из этих соображений я думал, что хороших мало.

[kw_artem]

Да,Руст, я понял. Вы предложили проверять все простые числа до $N$ на хорошесть, и если в этом промежутке последнее хорошее число меньше $\sqrt N$, то множество конечно. Но дело в том, что может и не найтись такой промежуток $[1,N]$, в случае если множество не конечно.
Вообще из этого видится другая формулировка:
если хороших чисел бесконечное множество, то расстояние между соседними такими числами не больше $(N-\sqrt N)$, где N -- меньшее число из пары.

-- 19.01.2012, 16:06 --

Если доказывать бесконечность множества (*), то можно по аналогии с доказательством Евклида для простых чисел.
Предполагаем $q_1,q_2,\ldots,q_n$ -- все хорошие числа, то для доказательства (*) нужно доказать, что найдутся такие $q_i, q_j$ из этого набора чисел, что $q_i \cdot q_j +2$ -- простое число. (не забыть про условие $q_i \cdot q_j +2 > q_n$)

[vorvalm]

А как быть с 1, которая присутсвует незримо в любом произведении?

[MrDindows]

vorvalm в сообщении #528865 писал(а):

А как быть с 1, которая присутсвует незримо в любом произведении?

Читайте внимательно условие. И в вопросах пишите, в чём именно для вас возникает несостыковка с условием.
А единица нам ничем не мешает.
"если p и q - хорошие числа, и r=pq+2 - простое число, то r - хорошее число;"

[kw_artem]

Кстати, вопрос про распределение простых чисел. Может я не догоняю, почему для вероятности $P(x)$ того что $x$ простое число верно:
$P(x)\simeq \frac 1 {\ln x}$, ведь величина $P(x)$ должна быть в 2 раза больше, т.к. все четные числа до $x$ явно не простые.

[vorvalm]

Когда в один ряд с простыми числами ставится 1, то это напоминает
эклектику.

[kw_artem]

vorvalm в сообщении #528903 писал(а):

Когда в один ряд с простыми числами ставится 1, то это напоминает
эклектику.

нет, 1 -- хорошее число, а остальные хорошие числа, которые определяются формулой в условии задачи уже являются простыми

[arseniiv]

(Оффтоп)

vorvalm, всё прекрасно определено. Однозначно и понятно почему-то всем, кроме вас. Что не так? Ну определите свои числа и исследуйте их. Но они уже другое множество будут образовывать.

[Sirion]

Что любопытно: я поэкспериментировал с другими такими множествами, где порождающая формула не pq+2, а pq+2k (при условии, что 2k+1 - простое). Оказалось, что среди них довольно много конечных. Причём если при k=2 множество получается "быстро конечное", то при k=9, если я не ошибаюсь, оно заканчивается уже на очень крупных числах.

Каким бы ни было доказательство, оно должно учитывать, что двойка - это именно двойка.

[MrDindows]

Sirion в сообщении #529016 писал(а):

Что любопытно: я поэкспериментировал с другими такими множествами, где порождающая формула не pq+2, а pq+2k (при условии, что 2k+1 - простое). Оказалось, что среди них довольно много конечных. Причём если при k=2 множество получается "быстро конечное", то при k=9, если я не ошибаюсь, оно заканчивается уже на очень крупных числах.

Каким бы ни было доказательство, оно должно учитывать, что двойка - это именно двойка.

Ну для k=9 хоть и заканчивается на очень крупных числах, но оно очень маленькое)
А вот для k=2, я поэксперементировал так: я изначально внёс не только единицу в это множество, но и 3. В результате, до 500 миллионов множество вовсе не собирается "ограничиваться", и по сути оно такое же большое, как и при k=1.

[hippie]

С помощью maple удалось найти 175 хороших чисел, содержащих не менее 40 знаков.

5 наибольших из них содержат более 300 знаков:

4676720574077194557713439524734650353010716055462482069696777781045320897380686384815543894939629878 8588734939289249843420769143906768220754053082121551385464989744578170487479359325192902971013154844 73145284396724945975499845927665457272113492213254123984880360034086690897139618540694483313254567843
(301 цифра);

2336641421065940674426310169376908227964046712812842440913662071707423321091384376404056017048129416 6830512307685817384612435495136880514282526393334099762292672009591503916620137669226537002013152393 53258688245229755855838809283875127203395402349566163781499105007208373923821669382049451906673426993373
(304 цифры);

5065652881948813947018942311276703457367735573594726328420013422086171697042217147586029424798559868 2821906949241368797508975200971291792724769825015025196776518431230308705419262998543517343933705437 32060792611813583660556392524191349103604139527903299051073058747438049478756903541176835263746728035553
(304 цифры);

8312223358048350576221285357028859941997777111189352844310380217222224966431021719406439054619956002 9343143965994483424580605720876305007042630724482394419362897278489311459035390405821283377811363764 15096058434305660073086214483729711899735270961442586468681685981955368549394091529796382508261830626911
(304 цифры);

6188709276771939688000560584061623880039218022605336600605927134393902151316750002642995385340203539 2611032052817589725069840877477049998341666716851151802268506214325907845255901331595276347599483770 5616196525437344468118611761093191756457335595186711033857179417875370487779639076982218656837222457949046316481
(312 цифр).