Хорошие числа.

[Sirion]

Определим множество хороших чисел следующим образом:

1 - хорошее число;
если p и q - хорошие числа, и r=pq+2 - простое число, то r - хорошее число;
множество хороших чисел - наименьшее по включению множество, удовлетворяющее этим требованиям.

Верно ли, что хороших чисел бесконечно много?

[Руст]

Должно быть конечное число. Возможно уже нет больше миллиона. Проще проверять на компьютере. Допустим проверили простые числа до $N$ и последнее хорошее меньше $\sqrt N$. Тогда нет других хороших.

[MrDindows]

Руст в сообщении #527043 писал(а):

Должно быть конечное число. Возможно уже нет больше миллиона. Проще проверять на компьютере. Допустим проверили простые числа до $N$ и последнее хорошее меньше $\sqrt N$. Тогда нет других хороших.

Если я ничего не напутал, программно.
При поиске до 400 миллионов:
91364773, 166488139, 167620099, 250555003, 271839319, 313850701, 388722181, 396378979, 399907483 - хорошие числа.

[Sirion]

1572967469799008640480638499163 - хорошее число

Ещё такая статистика: если на базе первых 1000 хороших чисел строится ещё 6464, то на базе первых 10000 - уже 134315. Т.е. они размножаются всё быстрее и быстрее.

[maxal]

Оформил эту последовательность как A204142.

[vorvalm]

Почему в вашей последовательности нет числа 29?

[kw_artem]

29=pq+2,
29-2=27=pq, где p,q хорошие числа. Т.к.хорошие числа -- простые числа, то нет таких простых p,q чтобы выполнялось равенство.
$27=3^3$,т.е. одно из чисел p,q не простое

[maxal]

vorvalm в сообщении #528762 писал(а):

Почему в вашей последовательности нет числа 29?

Потому что 29-2=27 не является произведением двух хороших чисел (уже хотя бы потому, что оно не является ни простым, ни полупростым числом).

[vorvalm]

Тогда почему число 11 в этом списке?

[Cash]

vorvalm в сообщении #528793 писал(а):

Тогда почему число 11 в этом списке?

Потому что $11=3\cdot3+2$, а $3$ - хорошее число

[vorvalm]

В условии не сказано , что допускается $p=q.$

[Cash]

В условии не запрещается брать равные.

[vorvalm]

Я правилно понял, что 1 хорошее число?

[Cash]

vorvalm в сообщении #528819 писал(а):

Я правилно понял, что 1 хорошее число?

Это прямо указано в условии

[vorvalm]

Тогда почему нет в списке числа 31?