С началом согласен, а вот насчет сколь угодно малого - нет. Естественней считать что часть сферы в бесконечно малом неотличима от плоскости бесконечно мало же. Порукой тому зависимость дефекта суммы углов от площади треугольника и предельный переход. Кстати, буквально вчера этот вопрос уже обсуждался в теме
topic53949.html.
Мы с Вами о разных вещах говорим. Я - о чисто математическом факте, Вы - о возможности проверки практическими измерениями в условиях ограниченной точности измерений.
Не такие уж разные. Второе - суть первое плюс некая добавка. Например, для кривой на поверхности её кривизна в объемлющем пространстве (точнее её квадрат) разбивается на т.н. геодезическую и нормальную части. Причём первая составляющая (определяющаяся внутренней геометрией) вполне однозначно отделяется.
Ну, например, можно в трёхмерную сферу
в евклидовом пространстве
можно вложить двумерную сферу как сечение плоскостью
и убедиться, что внешняя кривизна этой двумерной сферы относительно содержащей её трёхмерной равна нулю. Но, разумеется, связь между внутренней кривизной подмногообразия, его внешней кривизной и кривизной объемлющего многообразия имеется. Только нужно ли это
Mentalessу на его теперешнем уровне?
Можно не только воображать, но и вкладывать. Тем более, что по какой-то знаменитой теореме, название и автора которой я так толком и не запомнил, любое абстрактное многообразие принципиально не отличается от поверхности, вложенной в достаточно высокоразмерное плоское пространство.
Да, есть какие-то теоремы на этот счёт, и даже специально для пространств Эйнштейна. Только я никогда не слышал, чтобы без этих вложений в ОТО нельзя было обойтись.
наверное все-таки не стоит так вот напрочь отмахиваться от годного и полезного инструмента
Да никто и не отмахивается. Особенно если Вы знаете какие-то чрезвычайно полезные применения. Но, опять же, какое это имеет отношение к обсуждаемому вопросу? Я ведь пытался объяснить, какая кривизна нужна в ОТО.
Теоретики создавшие теорию слабого взаимодействия не очень интересовались экспериментами.
Этого не может быть. Вполне возможно, что о каких-то экспериментах они не знали, но выдумыванием "теорий" на пустом месте занимаются в основном дилетанты. Из известных мне современных теорий наименьшую экспериментальную базу в момент создания имела, вероятно, общая теория относительности (пожалуй, только необъяснимое аномальное смещение перигелия Меркурия). Однако для создания такой теории был существенный стимул - возникновение новых представлений о пространстве и времени (специальная теория относительности), и это требовало переработки ньютоновской теории гравитации так, чтобы она не противоречила этим новым представлениям. И в этой переработанной теории не только чудесным образом получилось правильное значение смещения перигелия Меркурия, но и был предсказан новый, никому не известный эффект - отклонение световых лучей массивными телами. Что и было подтверждено фотографированием окрестностей Солнца во время одного из ближайших солнечных затмений.