Bohmian quantum mechanical time contradicts the uncertainty

[Котофеич]

Bohmian quantum mechanical time contradicts the uncertainty principle
http://kims.ms.u-tokyo.ac.jp/timeVII.html
quantum mechanical time contradicts the uncertainty principle
By Hitoshi Kitada
Abstract: The a priori time in conventional quantum mechanics is shown to contradict the uncertainty principle. A possible solution is given.

[Котофеич]

Он там вещает следующее : еси начальное положение
$x_{0}$, для свободной КМ частицы, массы $ m $. измерялось с точностью \delta, то ее импульс p, получит неопределенность порядка h/2\delta.
С другой стороны скорость можно вычислить по формулам
(1)$v= (x(t)-x_{0})/t $ и (2)$ \Delta v=\Delta p/m>h/2m\delta $.
Если в первой формуле, время $ t $ выбрать очень большим, то первоначальная погрешность не будет влиять на результат (1) и для частицы двигавшейся по прямой (что в принципе не запрещается и с вероятностью близкой к единице, всегда теоретически выполняется), мы получим явное противоречие с формулой (2),потому что \delta,можно выбрать сколь угодно малым. Cогласно (1) ошибка в определении
скорости, уменьшается с возрастанием параметра t, в то же время, согласно (2) ошибка в определении скорости, может быть сколь угодно велика.

[AlexDem]

А не "фокус" ли это?.. Я статью не читал, просто просмотрел, возможно упустил что-нибудь. Но...

Спроектируем установку для проверки данного предположения. Она будет состоять из источника частиц, первого детектора, и на некотором расстоянии по прямой от него - второго детектора.

После вылета частицы первый детектор определит её координату с точностью $\delta$ и частица получит импульс, неопределённый до $h / 2\delta$. Это значит, что, повторяя эксперимент, на втором детекторе мы будем регистрировать частицу спустя различные промежутки времени $t$.

"Фокус" заключается в том, что мы не можем выбрать время $t$ произвольно большим - мы вообще его выбрать не можем, оно определяется первым измерением. А статистически, с повторением эксперимента, мы поймём, что это время $t$, а значит - и импульс, распределяется в интервале $h / 2\delta$.

А после второго измерения импульс получит уже другое значение...

[Котофеич]

Да нет. Там все правильно. Координата $x_{0} $ и импульс, $p $ измеряются только один раз,в начальный момент времени t=0. Вот эта же самая его писулька в архиве
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9911060
Читайте внимательно.
Время t, прошедшее после измерения координаты $ x_{0} $можно взять сколь угодно большим, ведь это чисто теоретическое
рассмотрение.
(1)$v= (x(t)-( x_{0} +\delta )/t $ и (2)$ \Delta v=\Delta p/m>h/2m \delta $.
Если в первой формуле, время $ t $ выбрать достаточно большим, то первоначальная погрешность измерения координаты $ \delta $ не будет влиять на результат (1),поскольку $ \delta/t\to 0, когда t\to infinite $ и для частицы двигавшейся по прямой (что в принципе не запрещается и с вероятностью близкой к единице, всегда теоретически выполняется или просто рассмотрим одномерный вариант), мы получим явное противоречие с формулой (2),потому что \delta,можно выбрать сколь угодно малым. Cогласно (1) ошибка в определении
скорости, уменьшается с возрастанием параметра t, в то же время, согласно (2) дисперсия (2)$ \Delta v=\Delta p/m>h/2m \delta $.
скорости, может быть сколь угодно велика.
Причина противоречия в том, что формула (1) для случая КМ-частицы не верна.
Автор предложил следующее не очень приемлемое решение этой проблемы
A possible solution would be to regard the independent quantities, space and momentum
operators, as the fundamental quantities of quantum mechanics. As time t can
be introduced as a ratio x/v on the basis of the notion of space and momentum in this
view†, time is a redundant notion that should not be given a role independent of space
and momentum.

[AlexDem]

Вывод - верен, доказательство - нет (это всё же фокус).

Дело в том, что мы не можем узнать координату и импульс частицы одновременно. А в данном случае одновременности никакой нет - при первом измерении мы узнали почти точную координату, а импульса не узнали. А второе измерение производится уже спустя время $t$, и чем оно больше, тем меньше поводов говорить об одновременности. Да, мы сможем вычислить точный импульс, но только проведя второе измерение (после которого будем знать и координату, но импульс уже поменяется). Строго говоря, вторым датчиком мы просто могли померять сам импульс, но это опять бы ничего не дало - координату бы тогда потеряли.

time_VII: Quantum mechanical time contradicts the uncertainty principle:

Цитата:

A possible solution would be to regard the independent quantities, space and momentum operators, as the fundamental quantities of quantum mechanics. As time $t$ can be introduced as a ratio $x/v$ on the basis of the notion of space and momentum in this view, time is a redundant notion that should not be given a role independent of space and momentum.

А это верно уже и из классических соображений. Что такое - 1 метр? Это эталонное расстояние, принятое за единицу для измерения длин. А что такое - 1 секунда? Фактически, это производное от эталонной скорости, принятой за единицу для измерения движения. Тем же эталоном можно считать импульс. И никакой КМ для этого привлекать не нужно.

time_I: Theory of Local Times: "8. EPR paradox":

Цитата:

According to our theory, within this local system $(H_{pj},H_{pj})$ of two photons, the interactions propagate with infinite speed by the quantum mechanics valid inside the system, as far as the two photons are considered to constitute one local system $(H_{pj},H_{pj})$, and are "observed" from their creation to the measurements of their polarization traced along the proper local time $t_{(H_{pj},H_{pj})}$. In this sense, non-locality is no contradiction within the combined local system of the two photons. Only when the two photons are considered as two different local systems $(H_{nl},H_{nl})$ and $(H_{mk},H_{mk})$ and are observed in the observer’s coordinate system, the classical-mechanical speed of interactions appears and the situation looks like a contradiction.

Сие тоже вызывает подозрение - если мы измеряем части запутанной системы отдельно, то перейдя затем опять к полной системе, должны опять-таки увидеть её запутанной (т.к. по его словам - это чисто "кинематический" эффект). Однако, такого на самом деле не происходит - система превращается в обычную смесь, то есть запутанное состояние реально разрушается...

Котофеич, если у Вас есть свой взгляд на эти вопросы и Вы поняли то, что, возможно, упустил я - буду рад услышать Ваши комментарии. На самом деле, идемпотентная математика мне показалась значительно более интересной. Если созрею, поспрашиваю чего-нибудь...

[Котофеич]

Так импульс у него не измеряется прибором. Измеряется только координата. Я там
допустил вольность речи, что сбило Вас с толку. Он там фактически рассматривает случай,
когда на вход первого измерителя поступает пакет, локализованный в окрестности $ [x_{0}-\delta,x_{0}+\delta], точки $ x_{0}. В этом случае имеется ненулевая амплитуда перехода в некоторое состояние локализованное в окрестности $ [x(t)-\delta,x(t)+\delta], точки $ x(t). У Менского приведено явное
выражение для такой амплитуды, когда на входе гауссовский пакет. Таким образом на входе и на выходе состояния с неопределенным импульсом. В то же время, скорость можно
вычислить однозначно. Поскольку скорость и импульс связаны линейно, то получаем противоречие. Он просто не рассматривает это все детально, предполагая что и так ясно о
чем речь.

[AlexDem]

Котофеич писал(а):

:evil: Так импульс у него не измеряется прибором. Измеряется только координата. Я там допустил вольность речи, что сбило Вас с толку. <...> В этом случае имеется ненулевая амплитуда перехода в некоторое состояние локализованное в окрестности $ [x(t)-\delta,x(t)+\delta], точки $ x(t). У Менского приведено явное выражение для такой амплитуды, когда на входе гауссовский пакет.

Нет, с толку Вы меня не сбили, а измерение импулься прибором я рассмотрел только для контраста. Вы не могли бы подсказать название статьи Менского, в которой выведена эта амплитуда? Дело в том, что IMHO амплитуда перехода в окрестность $[x(t)-\delta,x(t)+\delta]$ заранее определённой точки $x(t)$ в течение заранее определённого времени $t$, конечно, не нулевая, но и далеко не единичная!

Добавлено спустя 17 минут 30 секунд:

Котофеич писал(а):

Таким образом на входе и на выходе состояния с неопределенным импульсом. В то же время, скорость можно вычислить однозначно. Поскольку скорость и импульс связаны линейно, то получаем противоречие.

Всё дело в том, что эту скорость и импульс мы вычисляем постфактум, когда они уже имеют другое значение. К тому же, можно предположить, что между точками $x$ и $x(t)$ частица двигалась не прямолинейно, и получить другую скорость. Поэтому формула $v = (x(t) - x_0) / t$ действительно здесь неприменима, но противоречия никакого нет - просто он нарушил условие одновременности измерений.

Добавлено спустя 17 минут 37 секунд:

Если рассмотреть всё это дело в деталях, получим следующее: после того, как на первой точке выполнили измерение координаты, мы узнаем неопределённость импульса, и поэтому сможем предсказать дисперсию импульса, а значит - определить границы интервала времени, спустя которое частица сможет достичь точки второго детектора.

А на этой второй точке мы уже сможем получить дополнительную информацию о частице - измерив ещё раз её координату (или сразу - импульс). Поэтому мы поймём, в принципе, с каким средним импульсом в данном конкретном эксперименте частица двигалась между точками первого и второго детектора, но на основании этой информации мы никак не сможем точно предсказать ни дальнейшее поведение частицы, ни результаты последующих экспериментов.

Всё встало бы на свои места только в том случае, если бы предположить избыточной сущностью не только время, а ещё и координату. Получается что импульс - это как бы второе имя координаты, поэтому двух разных сущностей не существует, и измерять просто нечего. Но это, в общем-то, пока больше мои домыслы

[Котофеич]

Менский М.Б. Группа путей: измерения, поля, частицы. 1983.
Частица не движется по прямой, но существует ненулевая вероятность, что траектория
частицы, очень близкак к прямой и формула и в этом случае формула для скорости, как он
и говорит, работает. Противоречие в том, что в начальной и конечной точке, пакет с большой
точностью, локализован в x-пространстве, соответственно в р-пространстве пакет сильно
размазан, т.е. частица находится в состоянии с неопределенным импульсом. С другой стороны, скорость определена однозначно из данных по замеру координаты.

[AlexDem]

Котофеич писал(а):

Менский М.Б. Группа путей: измерения, поля, частицы. 1983.

Спасибо, скачал. Это, похоже, Глава 3 "Измерение пути осциллятора".

Котофеич писал(а):

Частица не движется по прямой, но существует ненулевая вероятность, что траектория частицы, очень близкак к прямой и формула и в этом случае формула для скорости, как он и говорит, работает.

Вот интересно, неопределённость импульса - она только к его величине относится, или и к направлению вектора тоже? По-моему, и к направлению тоже, но как же тогда частица может двигаться по прямой? Хотя, в принципе, можно сделать кольцо вторых датчиков, так что это не сильно мешает.

Котофеич писал(а):

Противоречие в том, что в начальной и конечной точке, пакет с большой точностью, локализован в x-пространстве, соответственно в р-пространстве пакет сильно размазан, т.е. частица находится в состоянии с неопределенным импульсом. С другой стороны, скорость определена однозначно из данных по замеру координаты.

Дело в том, что мы произвели два измерения. Ведь то же самое происходит в ЭПР-парадоксе - у одной частицы точно измеряем координату, у другой - точно измеряем импульс. Но ничего хорошего из этого не получается...

Вычислить скорость мы, конечно, можем, но это уже будет не текущая, а предыдущая (и притом - средняя) скорость. Да, вроде похоже на то, что формула $v = (x(t) - x_0) / t$ - классическая (но избыточность сущности "время" следует всё равно из других соображений). Думаю, что можно провести аналогию с сохранением интервала в СТО при несохранении проекций.

Если мы предположим, что координата и импульс не существуют раздельно, есть только некий коордимпульс, то вычислять по нему импульс в отдельности - это всё равно, что в СТО пытаться оперировать проекцией - результат будет неверен, хотя с классических позиций вроде всё нормально - вычисляем, допустим, длину. Так и здесь - зная координаты, вычисляем импульс, но этот импульс - классическая величина, не имеющая физического смысла.

Почему он только на время накинулся - мне непонятно. То, что координаты, время и скорость - перегруженные сущности, понятно и без КМ. Кстати, может координаты убрать, а время и скорость оставить?

[Котофеич]

Скачайте еще и это. 1.Менский М.Б. Квантовые изменения и декогеренция. Модели и феноменология 2001.Mensky 2.M.B. Continuous quantum measurements and path integrals 1993
Координаты пока лучше не трогать. Он фактически предлагает рассматривать время (как и координату в КМ) не классически, а как среднее некоторого подходящего оператора, но не
выписывает этот оператор явно.

[AlexDem]

Котофеич писал(а):

Он фактически предлагает рассматривать время (как и координату в КМ) не классически, а как среднее некоторого подходящего оператора, но не выписывает этот оператор явно.

Чего-то слишком много всего сразу. Будет лучше, если Вы хотя бы раздел укажете, куда смотреть. Я, например, в Менский "Группа путей: измерения, поля, частицы", глава 9, параграф 6 "Перспективы дальнейшего развития теории", с.258 нашёл следующее:

Цитата:

В дальнейшем, при рассмотрении гравитации, мы увидим, что и метрическая структура пространства-времени, и даже его топология может быть выражена на языке функций, зависящих от путей. При этом квантование гравитационного поля приведет к тому, что даже структура пространственно-временного многообразия (не говоря о его метрической и калибровочной структуре) перестанет существовать как таковая. Останутся лишь функции на группе путей и их свойства. Таким образом, группа путей позволяет отказаться от понятия пространственно-временного многообразия, понятия, которое во многом связывает руки при квантовании гравитации и особенно при учете квантовых свойств топологии.

Далее,

Котофеич писал(а):

Частица не движется по прямой, но существует ненулевая вероятность, что траектория частицы, очень близкак к прямой и формула и в этом случае формула для скорости, как он и говорит, работает. Противоречие в том, что в начальной и конечной точке, пакет с большой точностью, локализован в x-пространстве, соответственно в р-пространстве пакет сильно размазан, т.е. частица находится в состоянии с неопределенным импульсом. С другой стороны, скорость определена однозначно из данных по замеру координаты.

Здесь всё-таки хотелось бы чётко уяснить одну вещь: если мы вторым датчиком поставим детектор импульса, то будет ли зависеть измеренный импульс строго от времени пробега частицы между первым и вторым детектором? Я такого эксперимента не знаю, но можно рассмотреть мысленный: поставим между первым и последним детектором ещё целую решётку датчиков, тогда увидим, что скорость частицы не постоянна, а меняется случайным образом от датчика к датчику. При этом её средняя скорость будет описываться формулой $v_{avg} = (x(t) - x_0) / t$, однако импульс, с которым она "стукнется" о последний датчик, будет в определённой мере случайным, и не зависящим строго от этой скорости $v_{avg}$.


Что-то я тут проболел, потерял идею обсуждения... Было бы интересно понять, как из линейной КМ получаются нелинейные системы. Менский, по-моему, к этому близко подошёл с его резервуаром - я имею ввиду Менский "Квантовые измерения и декогеренция", глава 2 "Физика квантовых измерений". Линейность, по-моему, тоже выражается той же формулой $(ab)\varphi = (a\varphi)(b\varphi)$, так что коллапс, похоже, можно рассматривать в некотором роде как нелинейный оператор. Хотя по Менскому это, вроде, лишь запутывание с окружением (но пока механизм выбора неясен, то и вид этой нелинейной функции непонятен вроде - надо ещё немного почитать)...

[Котофеич]

Вот моя окончательная расшифровка, того что автор статьи, не очень внятно выразил.
Противоречие получается следующим образом.
Согласно неравенству Гейзенберга, если Вы измерили координату
x c ошибкой z, то ошибка в измерении скорости v всегда не меньше чем h/mz, как бы Вы не старались (cогласно Гейзенбергу), меньше не получится. Но с другой стороны, при достаточно большом T, Вы получите ошибку в измерении скорости: z/T< h/mz. Что и дает очевидное противоречие. В реальных экспериментах это не заметно, потому что там всегда z/T>> h/mz.
Вот например мнение физиков
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 1172318917

[Котофеич]

Что касается системы датчиков, так этого нельзя сделать, потому что в этом случае, будет непрерывный мониторинг координаты и соответственно совершенно другая задача.

[AlexDem]

Котофеич писал(а):

Согласно неравенству Гейзенберга, если Вы измерили координату x c ошибкой z, то ошибка в измерении скорости v всегда не меньше чем h/mz, как бы Вы не старались (cогласно Гейзенбергу), меньше не получится. Но с другой стороны, при достаточно большом T, Вы получите ошибку в измерении скорости: z/T< h/mz. Что и дает очевидное противоречие.

Да никакого противоречия оно не даёт... Во-первых, у нас не ошибка в измерении скорости, а неопределённость. Это принципиально: если бы была ошибка, можно было бы предполагать, что частица на самом деле движется с какой-то скоростью, но мы её не знаем. А на самом деле скрытых параметров нет, и скорость частицы реально недоопределена.

Во-вторых, чтобы это стало противоречием, необходимо провести тот опыт, когда у нас есть 2 датчика - первый из них - датчик координаты, а второй - датчик импульса. Так вот, если расчёт по формуле $v = (x(t) - x_0) / t$ даст в точности то же значение импульса, что и измерит второй датчик - только тогда можно говорить о противоречии. Тогда мы сможем подсунуть вторым датчиком детектор координаты и сможем утверждать, что измерив точно координату мы будем знать и точный импульс (вычислим его по формуле).

На самом деле, по-моему, так не будет. Будет примерно так, как в случае с решёткой (хотя это действительно не вполне эквивалентная задача, но там же неопределённость снимается только в большей степени, поэтому к классике должно быть только ближе). А именно - измеренный импульс на втором датчике не будет совпадать с расчётным по приводимой формуле $v = (x(t) - x_0) / t$. То есть эта формула даёт не импульс, а фикцию, не имеющую физического смысла (точнее - имеющую, но только в рамках определённости).

Котофеич писал(а):

Вот например мнение физиков

Сделать время оператором было бы можно только если состояние КМ-системы содержало бы некоторую внутреннюю информацию о времени системы. По-моему, этого нет, и одного импульса мало. Там и координаты-то постольку-поскольку - если та моя формула $(ab)\varphi = (a\varphi)(b\varphi)$ верна для представления системы как композиции подсистем, то координаты входят в состояние через эту композицию. Но не как самостоятельные сущности. А для времени места нет, если только мы в 4D точно так же не перейдём...

[Munin]

Котофеич писал(а):

Вот например мнение физиков

Нехорошо писать "вот мнение физиков", и при этом ссылаться на самого себя. Ай-яй-яй.