С чего начать изучение математики?

[SokolovArt]

Хорошо, тогда отнесём к множеству $A$ все рац.числа, кроме нат.чисел, а к множеству $A_1$ все нат.числа.

-- 15.01.2012, 13:29 --

Ну, контрпримера я вам сейчас привести всё равно не смогу (я об этом даже не читал ещё).

[Nemiroff]

SokolovArt в сообщении #527108 писал(а):

Хорошо, тогда отнесём к множеству $A$ все рац.числа, а к множеству $A_1$ все нат.числа.

Я не понял. $A_1$ - множество чисел, больших $a$. Может быть, в нем нет натуральных чисел.

Цитата:

Ну, контрпримера я вам сейчас привести всё равно не смогу (я об этом даже не читал ещё).

Ну вы могли бы подумать или порисовать интервалы на прямой. Впрочем, как хотите. Можете пока поверить, что контрпример есть. Поэтому, к слову, все предельные переходы в теоремах и утверждениях матанализа требуют четкого обоснования.

[SokolovArt]

К множеству $A$ отнесём все рац.числа (кроме нат.чисел), которые меньше любого из нат.чисел из множества $A_1$

[Nemiroff]

SokolovArt в сообщении #527113 писал(а):

К множеству $A$ отнесём все рац.числа (кроме нат.чисел), которые меньше любого из нат.чисел из множества $A_1$

Повторяю: что будем делать, если в множестве $A_1$ нет натуральных чисел. Вообще. Допустим, я вам дал такое число $a$, что все натуральные числа меньше его.

[SokolovArt]

Грубо говря ($a=\sup A a_0 \in A, a_0\le 0, a_1 \in A_1, a_1>0$), где к нижнему классу относим все рац.числа, кроме нат.чисел, а ко верхнему - все нат.числа.
А вы можете мне привести пример такого числа.
Делать будем следующее: $n=ab, b>1 $[/math]$ab$-нат.число

-- 15.01.2012, 13:53 --

Да если вообще так подумать - я пытаюсь доказать аксиому.
И вообще у нат.чисел верхней гранью является бесконечность.

[Nemiroff]

Во-первых, приведите сообщение в порядок.
Во-вторых, переведем на русский. $A$ - множество чисел не больших $a$, дальше что-то непонятное. Далее $n=ab, b>1, ab \in \mathbb{N}$
Объясните, почему существует такое число $b>1$, что $ab \in \mathbb{N}$.
В-третьих, из того что я что-то не могу сделать, не следует, что это невозможно.
А вот вы должны мне доказать, что нельзя ограничить множество натуральных чисел вещественным числом.

-- Вс янв 15, 2012 14:59:14 --

Цитата:

Да если вообще так подумать - я пытаюсь доказать аксиому.

Вы не понимаете, о чем речь. Есть некоторые утверждения. Любое из этих утверждений можно принять за аксиому, тогда прочие будут выводимыми в этой аксиоматике теоремами.

Цитата:

И вообще у нат.чисел верхней гранью является бесконечность.

Это требует обоснования. Кроме того, бесконечность не принадлежит множеству натуральных чисел, так что это требует еще и корректных определений.

[SokolovArt]

Возьмём любое нат.число $a$ и вещ число$b=a+c$, где $c$-малая величина (число),т.е $c<1$.Возьмём число $a+1>b$ - неравенство очевидное.

[Nemiroff]

Так, вот это уже лучше.
А теперь аккуратно, пользуясь свойствами множества натуральных чисел, определением верхней грани и теоремой о существовании верхней грани у ограниченного множества докажите теорему Архимеда.
Проще говоря, нужно все аккуратно собрать в кучу.

[SokolovArt]

Хорошо.
1.Т.к. мы не можем ограничить множество нат.чисел вещ.числом, то можем провести сечение $A|A_1$ , где к первому множеству отнесём все рац.числа $a$, исключая нат.числа (при этом должно выполняться неравенство: $a\le a_1$, где $a_1$ - нат.числа, которые мы отнесём к множеству $A_1$).Мы знаем, что нет такого вещ.числа, которым можно ограничить нат.числа(нат.ряд), следовательно мы имеем право провести такое сечение.
2.Сечение мы проведём рац.числом $a\in A, a=\sup A$.
3.Теперь мы берём любое число из верхнего класса-оно будет больше нашего числа из нижнего класса,ч.т.д.

-- 15.01.2012, 14:23 --

Nemiroff
Извиняюсь за неправильный знак (не $a\le a_1$, а $a<a_1$)

[Nemiroff]

Либо я что-то не понимаю, либо одно из двух.
Тупой вопрос: нахрена вам эти сечения? Вы можете говорить просто про множества?
Дальше: докажите строго, что не существует числа $b$, ограничивающего натуральный ряд.
Вот это:

Цитата:

Возьмём любое нат.число $a$ и вещ число$b=a+c$, где $c$-малая величина (число),т.е $c<1$.Возьмём число $a+1>b$ - неравенство очевидное.

почти доказательство, но немного не оно.
Если вы уж проводите сечение на числе, то почему на рациональном? А если вы получили от меня иррациональное?

Может, сообщество поможет. ЗУ, модераторы, прочие опытные люди - помогите донести идею до топикстартера.

[SokolovArt]

Просто читаю Фихтенгольца, а там всё по Дедекинду объясняется (на сечениях).

[Nemiroff]

Да наплевать как построено множество вещественных чисел, если оно уже построено.
А читай вы построение по Кантору, вы бы тут в последовательностях рациональных чисел размышляли?
Есть вещественные числа. Просто множество объектов со свойствами.
Вы знаете про некоторые свойства: аксиомы поля, порядка и еще про наличие верхней грани.
Вот и все.

Если вам удобно говорить на языке сечений, милости просим. Но я сомневаюсь.

[SokolovArt]

Про аксиомы поля и порядка я впервые слышу (может быть вы меня не совсем правильно поняли, но я прочитал только введение в учебнике Фихтенгольца и больше ничего - ни высшую алгебру, ни какие-либо другие книги по мат.анализу)

[Nemiroff]

Цитата:

Про аксиомы поля и порядка я впервые слышу (может быть вы меня не совсем правильно поняли, но я прочитал только введение в учебнике Фихтенгольца и больше ничего - ни высшую алгебру, ни какие-либо другие книги по мат.анализу)

Это просто названия для свойств сложения, умножения и сравнения вещественных чисел.

[SokolovArt]

Понял.
А вы можете мне привести правильное док-во теоремы Архимеда, если не сложно.
И про Кантора тоже (чтобы я хоть знал, как это правильно доказывается).