Научный метод решения уравнений вида 1/x + 1/y = 1/n

[Homez]

Здравствуйте, уважаемые!

Я участвую с недавних пор в projecteuler.net. Для тех, кто не знает, это сайт, посвященный решению разных задачек, в основном математического характера, для решения требуется писать небольшие программы. 105 задач уже решил:)

Никогда еще не просил помощи для решения задачи, но и тут несколько другое. Ведь меня интересует именно математический аппарат, а это спрашивать не грех, я считаю. Так вот, к моей проблеме. Одна из задач посвящена уравнению вида 1/x + 1/y = 1/n, где x, y и n - натуральные. А именно, требуется найти минимальный n, для которого число различных решений превысит 1000. Вроде, это диафантово уравнение, его ведь можно привести к виду и без дробей. Конечно, такое уравнение можно решать перебором, но для больших n это уже становится затруднительно. А в другой подобной задаче на этом же сайте уже требуется найти минимальный n, для которого число решений уже превысит 1 000 000! Тут уже брут форс не поможет. Я уверен, что для этого есть соответствующий матаппарат (на сайте сказано, что существует метод в обход грубой силы). Например, для решения уравнений Белля вида x^2 - D * y^2 = 1 (другая задача на этом форуме) я вычислял нужную подходящую дробь для корня из D. А тут тоже какая-то метода уже должна давно быть придумана.

Но поиск в интернете ничего не дал, я даже не знаю, как такие уравнения называются. Прошу помощи, направьте меня в нужное русло!

[Null]

$n(x+y)=xy$
$(x-n)(y-n)=n^2$
Вывод: надо разложить $n^2$ на 2 множителя.

[Sonic86]

Null в сообщении #524901 писал(а):

$(x-n)(y-n)=n^2$

Число решений уравнения получается тоже отсюда. Но при попытке анализа числа решений нельзя без перебора точно найти наименьшее решение.

(Оффтоп)

Я, по-моему, это там и решал
уравнения диофантовы, уравнение Пелля

[Homez]

Я понял, что число решений получается из числа множителей $n^2$. Перебр же будет заключаться в том, что для каждого n, начиная с наименьшего значения, нам надо будет получать это число множителей, пока не достигнем нужного.

[Sonic86]

Homez в сообщении #524952 писал(а):

Я понял, что число решений получается из числа множителей $n^2$.

Я имел ввиду, что есть формула для числа решений через функцию числа делителей:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0% ... 0.B5.D0.B9
Я просто не понял - знаете Вы формулу или нет.
На всякий случай ссылку привожу.

[Homez]

Формулу знаю, уже применял ее в решении другой задачи

[Null]

Просто ответ будет иметь вид $2^{a_1}\times 3^{a_2}\times\dots$ где $a_1\ge a_2 \ge \dots$ Их перебирать проще

[Homez]

Да я обе задачи уже решил