Построить и исследовать график (мат.ан)

[sanchoflat]

Всем привет. нужно построить график $y=e^{\sin x - \cos x}$ и исследовать. вобщем все бы хорошо, только не знаю как упростить так чтобы найти корни уравнения.
вот само решение

в конце не знаю как упростить y". - $(\cos x+\sin x)^2+\cos x- \sin x$

[GAA]

Чтобы найти при каких $x$ вторая производная обращается в ноль, я бы попробовал свести уравнение $(\cos x + \sin x)^2 + \cos x - \sin x=0$ к алгебраическому уравнению при помощи «универсальной тригонометрической подстановки»: $\sin x = \frac {2\tg (x/2)}{1+tg^2(x/2)}$, $\cos x = \frac{1-\tg^2(x/2) }{1+\tg^2(x/2)}$, $x \ne \pi + 2\pi k$, обозначив $\tg(x/2)$ через $t$. Перед выполнением подстановки, я бы проверил: не является ли $x = \pi + 2\pi k$ корнем. В результате подстановки получается кубическое уравнение с одним легко угадываемым корнем. Это позволяет свести решение этого уравнения к решению квадратного уравнения.
После нахождения корней, знак второй производной на промежутках можно найти простой подстановкой конкретных значений.

На форуме принято записывать формулы в нотации $\TeX$, см. правила форума п. I.1.м. Ссылки на рисунки следует избегать. Если рисунок содержит условие или существенную часть решения, то тема будет перемещена в Карантин до исправления (см. правила форума). Учебные задачи и вопросы по математике следует помещать в разделе «Помогите решить / разобраться (М)».

[sanchoflat]

спасибо, буду разбираться. Хотел ка краз и поместить в этом разделе - "помогите решить" но большим красным шритом было написано что нельзя создавать темы, что меня удивило. по этому разместил здесь, думал что позже переносят.
и такой вопрос. если мы нашли, что один из корней - равен ( тот что написали выше) как потом поделить одно уравнение на другое? был бы корень - 1,-1 или еще что - то без проблем, но вот с таким пока не пробовал и как там делать не знаю

[GAA]

sanchoflat в сообщении #524201 писал(а):

...был бы корень - 1, 1 или еще что - то без проблем

А Вы найдите корень! Все будет очень просто!

Пусть $a$ корень кубического уравнения. Тогда Вам следует разделить в столбик исходное кубическое уравнение на $t-a$.
(Примеры деления в столбик проводятся в учебниках, см., например, в книге Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа», Ч. I., в гл. 7 «Комплексные числа. Алгебра многочленов. Интегрирование в элементарных функциях.». Впрочем, все настолько просто, а пример в этой книге несколько далек от вопроса в теме, что книги я бы по этому поводу и не смотрел. Но, если в материал семестра попадает тема «интегрирование алгебраической дроби», то просто необходимо полистать учебники.)

Вы неправильно поняли. Новые темы следует размещать в корне раздела «Помогите решить разобраться (М)». Невозможно создавать новые темы и добавлять новые вопросы (несвязанные с основной темой) в тематических подразделах форума «Помогите решить / разобраться (М)» («Анализ 1», «Анализ 2», …).

[sanchoflat]

1) я как раз и захожу в раздел "Анализ 1" мне выдает сверху огромное сообщение "В этом разделе нельзя создавать новые темы. " и еще кучу всего и кнопки на создать тему тоже нету.
а все разобрался. я чтото подумал что корнем именно кубического будет это $x = \pi + 2\pi k$ и но понимал как поделить, а так то корень хороший получится а делить то умею

[GAA]

(sanchoflat)

Как зайдете в раздел «Помогите решить / разобраться (М)», то не заходите в «Анализ I», а спуститесь ниже, тогда увидите кнопку «new topic» («новая тема»). И, давайте, на этом закончим оффтопик.

[sanchoflat]

спасибо, монитор тмаленький не видел)

а по теме - получается довольно не самое приятное уравнение 4 степени

[GAA]

Приведите свои выкладки.

[sanchoflat]

пардоньте, начал красиво переписывать ( пока с math еще не разобрался как красиво написать с клавиатуры) 4 степень благополучно ушла. одно уравнение на второе хорошо поделилось. как вижу второе уравнение вообще не имеет корней - D<0 и корень - один как вы и написали - 1

[GAA]

Да.

-- Sat 07.01.2012 14:21:42 --

Продолжайте решать. Я вечером загляну, и если Вам не ответят раньше, то отвечу.

[sanchoflat]

единственно не очень понятно - корень из уравнения всего один - $x = \pi/2 + 2\pi k$ ( $\tg x/2 = 1$ ) но второй находится методом просто подстановки каr написали вы $x = \pi + 2\pi k$, но почему тогда он не находится из уравнения?

[GAA]

Очевидно, потому, что, как я и писал выше, подстановка законна, если $x \ne \pi + 2\pi k$ (при $x = \pi + 2\pi k$ тангенс половинного аргумента не определен).

[sanchoflat]

ну так а этот корень то мне все равно же нужно взять? но как показать что мы его получили этот корень?

[GAA]

Конечно, нужно взять корень $x= \pi$. Совершенно стандартная ситуация. Выполняя «универсальную замену» в уравнении $(\cos x + \sin x)^2 + \cos x - \sin x=0$ мы теряем возможные корни вида $x= \pi + 2\pi k$. Следовательно, мы должны проверить: не являются ли $x= \pi + 2\pi k$ корнями уравнения $(\cos x + \sin x)^2 + \cos x - \sin x=0$.

(Оффтоп)

Если Ваши сообщения — это рождественское издевательство, то считайте, что оно оценено.

[sanchoflat]

так, спасибо. все нашел. но возникла новая проблема при построении таблицы ( когда ищу точки перегиба) я беру интервалы: (0,\pi/2) | (\pi/2) | (\pi/2,\pi) | (\pi) | (\pi,0)
но вот выходит что на первом и втором интервале функция сначала выпукла вниз потом вниз, но значение в точках \pi/2 и \pi - равно $e$