2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Континуум (суммы ряда при любых изменениях знаков)
Сообщение06.01.2012, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Навеяно рассуждениями ewerta в задаче про предел последовательности.
Наверное факт известный, но второпях не успеваю.

Пусть $\sum x_i$ сходящийся положительный ряд. Возьмём множество всех последовательностей из $+1$ и $-1$. Не знаю, как обозначить. Ну допустим $\{\alpha_i\}$.
Верно ли то, что множество сумм всех рядов $\{\sum \alpha_i\cdot x_i\}$ континуально.
То есть берём всевозможные изменения знаков в нашем ряде. Ведь он абсолютно сходится. Все суммы лежат на понятном отрезке. Как они будут его заполнять? И где вообще про это можно прочитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 11:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #523753 писал(а):
Будут ли они его заполнять полностью?

Будут. Доказательство -- как в теореме Римана (о произвольности сумм перестановленного условно сходящегося ряда).

(если, конечно, это именно ряд, а не конечная сумма)

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Пардон, я немного поправил, так как усомнился. Но, похоже, зря? То же самое верно, если рассматривать не изменения знаков, а различные положительные подряды. Значения сумм изменяются от нуля (исключительно) до суммы всего ряда.
Я же хотел с помощью ряда получить нечто вроде канторова множества.

А как, кстати, чисто формально, по обозначениям, отличить ряд от его суммы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 11:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Пардон, я ошибся. Могут и не заполнять. Канторово множество получить легко -- достаточно взять $\sum\frac1{3^k}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Пардон, можно я буду третьим человеком, который начал сообщение со слова "Пардон"? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 11:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

и что замечательно -- им же и закончил

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
svv, это не честно. Мы ничего не знали о пардонах друг друга, писали сообщения независимо, а Вы знали :-)

В общем, спасибо. Сейчас буду в электричке представлять себе ряды, глядишь и усну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 12:12 


25/08/11

1074
Мне кажется, что подобные задачи рассматриваются в тервере (о произвольной расстановке знаков в ряде), но я тут слабоват.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 14:39 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Классная задача! Такая простая и одновременно чарующая!

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Вот пример ряда, из которого можно получить любое значение $x\in[-1,+1]$:
$\dfrac 1 4 +\dfrac 1 4+\dfrac 1 8 +\dfrac 1 8 +\dfrac 1 {16} +\dfrac 1 {16}+...$
Ну, понятно как: объединяя одинаковые дроби в пары, видим, что каждая пара может давать вклад $-\frac 1 {2^n}, 0, +\frac 1 {2^n}$.
$\left(\pm\dfrac 1 4 \pm\dfrac 1 4\right)+\left(\pm\dfrac 1 8 \pm\dfrac 1 8\right) +\left(\pm\dfrac 1 {16} \pm\dfrac 1 {16}\right)+...$
Так мы обладаем всеми возможностями двоичных дробей $0,b_1 b_2 b_3...$, ещё и со знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 19:39 
Заслуженный участник


13/12/05
4621
Множество таких сумм будет содержать подмножесвто, гомеоморфное канторову. Построение понятное, но долго описывать. Берем сколько-то первых слагаемых, пусть их сумма будет $s_1$. При этом можно их взять столько, чтобы сумма оставшихся была меньше, чем $s_1/3$. Из оставшихся выберем сколько-то слагаемых, с суммой $s_2$, так чтобы сумма оставшихся была меньше, чем $s_2/3$. И так далее. Суммы $\varepsilon_1 s_1+\varepsilon_2 s_2+\ldots$, $\varepsilon_i=\pm 1$, будут заполнять канторово множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение06.01.2012, 20:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну достаточно очевидны две вещи.

Во-первых, что множество сумм заведомо будет континуумом. Скажем, если взять ряд с членами, убывающими быстрее геометрической прогрессии со знаменателем $\frac12$ (в том смысле, что каждый его следующий член меньше половины предыдущего). Тогда достаточно понятно, что разным последовательностям знаков будут соответствовать разные суммы, вот вам и континуум. Между тем задачку можно свести именно к такой постановке, если а) заменить плюс-минус единички на нули и единички (какая разница-то, в конце-то концов); б) переставить члены ряда в порядке их убывания, перемежая в случае необходимости с нулевыми членами (буде такие найдутся) и в) проредить этот ряд, выкинув нулевые члены и те положительные, которые мешают нужной скорости убывания.

Во-вторых, что бывают и ряды, суммы которых (после умножения на знакочередования) действительно заполняют тот самый отрезок. Для этого достаточно взять ряд, члены которого убывают медленнее той же самой прогрессии (в аналогичном смысле). Фактически нужно, чтобы каждый очередной член был не больше суммы всех последующих. Тогда вполне риманоподобные соображения и впрямь дадут нужный результат.

(Оффтоп)

(мне-то сперва по наивности почудилось, что всегда дадут, ан нет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение08.01.2012, 13:06 


25/08/11

1074
Всё-таки есть целая наука о случайных расстановках знаков в ряде. Я тут несведущ, но кажется, что теория началась с работы Колмогорова. Поиск находит на русском статьи Рябинина и Бочкарева на матнете, а вот интересная статья на англ.:
http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=r ... 5z-m5KGkdw
Ссылки на доступные учебники Биллингсли и Марка Каца, где наверное изложена теория.

-- 08.01.2012, 14:20 --

Да, в книге Каца есть такой материал-посмотрел. У истоков задачи: Штейнгауз, Винер, Колмогоров, Радемахер, Пэли, Винер...

 Профиль  
                  
 
 Re: Континуум
Сообщение10.01.2012, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Спасибо откликнувшимся, особенно sergei1961 за ссылки.
Тот случай, когда простенький вопрос заводит в неведомую раньше область (для меня самого, разумеется :-) ), а там столько интересного.
Кстати, у меня тоже появились мысли по поводу ТВ. Если ряд отнормировать на 1, то его члены можно рассматривать как функцию распределения дискретной случайной величины, а различные подрядӹ как вероятности всевозможных событий. Только вот никакого смысла в таком рассмотрении мне отыскать не удалось :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group