Континуум (суммы ряда при любых изменениях знаков)

[gris]

Навеяно рассуждениями ewerta в задаче про предел последовательности.
Наверное факт известный, но второпях не успеваю.

Пусть $\sum x_i$ сходящийся положительный ряд. Возьмём множество всех последовательностей из $+1$ и $-1$. Не знаю, как обозначить. Ну допустим $\{\alpha_i\}$.
Верно ли то, что множество сумм всех рядов $\{\sum \alpha_i\cdot x_i\}$ континуально.
То есть берём всевозможные изменения знаков в нашем ряде. Ведь он абсолютно сходится. Все суммы лежат на понятном отрезке. Как они будут его заполнять? И где вообще про это можно прочитать?

[ewert]

gris в сообщении #523753 писал(а):

Будут ли они его заполнять полностью?

Будут. Доказательство -- как в теореме Римана (о произвольности сумм перестановленного условно сходящегося ряда).

(если, конечно, это именно ряд, а не конечная сумма)

[gris]

Пардон, я немного поправил, так как усомнился. Но, похоже, зря? То же самое верно, если рассматривать не изменения знаков, а различные положительные подряды. Значения сумм изменяются от нуля (исключительно) до суммы всего ряда.
Я же хотел с помощью ряда получить нечто вроде канторова множества.

А как, кстати, чисто формально, по обозначениям, отличить ряд от его суммы?

[ewert]

Пардон, я ошибся. Могут и не заполнять. Канторово множество получить легко -- достаточно взять $\sum\frac1{3^k}$.

[svv]

Пардон, можно я буду третьим человеком, который начал сообщение со слова "Пардон"?

[ewert]

(Оффтоп)

и что замечательно -- им же и закончил

[gris]

svv, это не честно. Мы ничего не знали о пардонах друг друга, писали сообщения независимо, а Вы знали

В общем, спасибо. Сейчас буду в электричке представлять себе ряды, глядишь и усну.

[sergei1961]

Мне кажется, что подобные задачи рассматриваются в тервере (о произвольной расстановке знаков в ряде), но я тут слабоват.

[arseniiv]

Классная задача! Такая простая и одновременно чарующая!

[svv]

Вот пример ряда, из которого можно получить любое значение $x\in[-1,+1]$:
$\dfrac 1 4 +\dfrac 1 4+\dfrac 1 8 +\dfrac 1 8 +\dfrac 1 {16} +\dfrac 1 {16}+...$
Ну, понятно как: объединяя одинаковые дроби в пары, видим, что каждая пара может давать вклад $-\frac 1 {2^n}, 0, +\frac 1 {2^n}$.
$\left(\pm\dfrac 1 4 \pm\dfrac 1 4\right)+\left(\pm\dfrac 1 8 \pm\dfrac 1 8\right) +\left(\pm\dfrac 1 {16} \pm\dfrac 1 {16}\right)+...$
Так мы обладаем всеми возможностями двоичных дробей $0,b_1 b_2 b_3...$, ещё и со знаком.

[Padawan]

Множество таких сумм будет содержать подмножесвто, гомеоморфное канторову. Построение понятное, но долго описывать. Берем сколько-то первых слагаемых, пусть их сумма будет $s_1$. При этом можно их взять столько, чтобы сумма оставшихся была меньше, чем $s_1/3$. Из оставшихся выберем сколько-то слагаемых, с суммой $s_2$, так чтобы сумма оставшихся была меньше, чем $s_2/3$. И так далее. Суммы $\varepsilon_1 s_1+\varepsilon_2 s_2+\ldots$, $\varepsilon_i=\pm 1$, будут заполнять канторово множество.

[ewert]

Ну достаточно очевидны две вещи.

Во-первых, что множество сумм заведомо будет континуумом. Скажем, если взять ряд с членами, убывающими быстрее геометрической прогрессии со знаменателем $\frac12$ (в том смысле, что каждый его следующий член меньше половины предыдущего). Тогда достаточно понятно, что разным последовательностям знаков будут соответствовать разные суммы, вот вам и континуум. Между тем задачку можно свести именно к такой постановке, если а) заменить плюс-минус единички на нули и единички (какая разница-то, в конце-то концов); б) переставить члены ряда в порядке их убывания, перемежая в случае необходимости с нулевыми членами (буде такие найдутся) и в) проредить этот ряд, выкинув нулевые члены и те положительные, которые мешают нужной скорости убывания.

Во-вторых, что бывают и ряды, суммы которых (после умножения на знакочередования) действительно заполняют тот самый отрезок. Для этого достаточно взять ряд, члены которого убывают медленнее той же самой прогрессии (в аналогичном смысле). Фактически нужно, чтобы каждый очередной член был не больше суммы всех последующих. Тогда вполне риманоподобные соображения и впрямь дадут нужный результат.

(Оффтоп)

(мне-то сперва по наивности почудилось, что всегда дадут, ан нет)

[sergei1961]

Всё-таки есть целая наука о случайных расстановках знаков в ряде. Я тут несведущ, но кажется, что теория началась с работы Колмогорова. Поиск находит на русском статьи Рябинина и Бочкарева на матнете, а вот интересная статья на англ.:
http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=r ... 5z-m5KGkdw
Ссылки на доступные учебники Биллингсли и Марка Каца, где наверное изложена теория.

-- 08.01.2012, 14:20 --

Да, в книге Каца есть такой материал-посмотрел. У истоков задачи: Штейнгауз, Винер, Колмогоров, Радемахер, Пэли, Винер...

[gris]

Спасибо откликнувшимся, особенно sergei1961 за ссылки.
Тот случай, когда простенький вопрос заводит в неведомую раньше область (для меня самого, разумеется ), а там столько интересного.
Кстати, у меня тоже появились мысли по поводу ТВ. Если ряд отнормировать на 1, то его члены можно рассматривать как функцию распределения дискретной случайной величины, а различные подрядӹ как вероятности всевозможных событий. Только вот никакого смысла в таком рассмотрении мне отыскать не удалось