Разложить интеграл в ряд Маклорена

[phys]

$\int\limits_0^x \dfrac{1}{x^2}\mathrm{sh}\dfrac{x^2}{3}dx$

Первое что очевидно приходит в голову, разложить в ряд подынтегральную функцию, и далее проинтегрировать ряд.

Но, разложить $f(x) = \dfrac{1}{x^2}\mathrm{sh}\dfrac{x^2}{3}$ в лоб не очень просто, ибо с каждой производной будет удваиваться кол-во членов, да и $x$ в знаменателе не очень приятно смотрится, в пределе конечно каждый член $n$-ой производной будет нулем, (по Лопиталю дифф. столько раз, пока вылезающий из под гиперболики $x$ не сократит весь знаменатель, получается такая же ситуация как с $e^{-\frac{1}{x^2}}$, если не ошибаюсь, куча нолей), так что ничего хорошего не предвидится. А больше методов я не знаю.

[bot]

А не надо брать производные - есть ведь стандартное разложение для $\sh x $

[phys]

Как же я мог упустить такую деталь :/

$\dfrac{1}{x^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(2n+1)!}t^{2n+1} = \LEFT| t = \dfrac{x^2}{3} \RIGHT| = \dfrac{1}{x^2}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{3^{2n+1}(2n+1)!}x^{4n+2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{3^{2n+1}(2n+1)!}x^{4n}$

Ну и понятно дальше. Спасибо.

[Klad33]

Элементарно, Ватсон!:

$ \frac{1}{x^2}sh\big(\frac{x^2}{3}\big)=\frac{x^0}{3^1 \cdot 1!}+\frac{x^4}{3^3 \cdot 3!}+\frac{x^8}{3^5 \cdot 5!}+\frac{x^{12}}{3^7 \cdot 7!}+... $

Получить общий вид члена ряда, взять нужный интеграл - дело слишком простое.
Опоздал малость ... :)