![$\int\limits_0^x \dfrac{1}{x^2}\mathrm{sh}\dfrac{x^2}{3}dx$ $\int\limits_0^x \dfrac{1}{x^2}\mathrm{sh}\dfrac{x^2}{3}dx$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/7/4e714468e4a73b77383ec79b4ab7b70082.png)
Первое что очевидно приходит в голову, разложить в ряд подынтегральную функцию, и далее проинтегрировать ряд.
Но, разложить
![$f(x) = \dfrac{1}{x^2}\mathrm{sh}\dfrac{x^2}{3}$ $f(x) = \dfrac{1}{x^2}\mathrm{sh}\dfrac{x^2}{3}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/f/b8fd648e6c92bc99f5f5e6d3dec9d40082.png)
в лоб не очень просто, ибо с каждой производной будет удваиваться кол-во членов, да и
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
в знаменателе не очень приятно смотрится, в пределе конечно каждый член
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-ой производной будет нулем, (по Лопиталю дифф. столько раз, пока вылезающий из под гиперболики
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не сократит весь знаменатель, получается такая же ситуация как с
![$e^{-\frac{1}{x^2}}$ $e^{-\frac{1}{x^2}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/1/9b1f7cb6f31978db6b52b6216aeca26f82.png)
, если не ошибаюсь, куча нолей), так что ничего хорошего не предвидится. А больше методов я не знаю.