R-модуль

[Unconnected]

Да, про координаты и т.п. понял, как из понятия модуля вытекает.
Тут есть теорема: одно лин.пространство изоморфно другому $\leftrightarrow $ их размерности совпадают. Сначала доказывается, что базис в $U_1$ переходит в базис $U_2$. А во втором пункте - что этот базис $U_2$ линейно независим! Но зачем, он же и так базис, который независим по определению?

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #522899 писал(а):

Тут есть теорема: одно лин.пространство изоморфно другому $\leftrightarrow $ их размерности совпадают. Сначала доказывается, что базис в $U_1$ переходит в базис $U_2$. А во втором пункте - что этот базис $U_2$ линейно независим! Но зачем, он же и так базис, который независим по определению?

Независим он в исходном пространстве, а в отображенном может быть зависим. Ну вот я взял пространство $\mathbb{R}^3$, базис $e_1=(1;0;0),e_2=(0;1;0),e_3=(0;0;1)$ и отображаю $\mathbb{R}^3$ в $\mathbb{R}$ по правилу $\varphi (x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3)=x_1+x_2+x_3$. Как Вы думаете, будут ли $\varphi (e_j)$ линейно независимы?

[Unconnected]

Я правильно понимаю, что $\mathbb{R}^3$ и $\mathbb{R}$ берутся как пространства над R? Нуу да, 3 отображенных будут единицами, зависимы.. тогда теорема не выполняется) Или, может, какой-то другой базис есть?

Получается, базис может быть линейно зависим?

[kribesk]

Теорема выполняется. Данное правило - не изоморфизм.

[Unconnected]

Блин, я запутался.. а если изоморфизм, базис переходит в базис? Если да, то второй базис будет ведь лин.независим (по определению)? И как Вы узнали, что это не изоморфизм?)

[kribesk]

Если изоморфизм, то базис переходит в базис. Это и доказывается.

[Unconnected]

А, верно.. там сначала показано, что через образы базиса можно выразить все элементы второго пространства, но этого видимо недостаточно, чтобы назвать эти образы тоже базисом, вот и доказывают независимость..

[kribesk]

Точно. По определению базис - линейнонезависимое множество образующих.

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #522988 писал(а):

А, верно.. там сначала показано, что через образы базиса можно выразить все элементы второго пространства, но этого видимо недостаточно, чтобы назвать эти образы тоже базисом, вот и доказывают независимость..

Да, скорее всего именно так, потому что все-таки базис должен быть линейно независимым (а я значит фигню написал. Я имел ввиду, что через образы базиса в $U_2$ все выражается, но образы базиса могут быть линейно зависимы)

[Unconnected]

Очередная малопонятная теорема.
Даны два линейных конечномерных пространства $U_1$ и $U_2$ над K, их размерности m и n; дано отображение $f: Hom(U_1,U_2) \to M_{m,n}(K)$, такое, что $f(A)=[A]_{B_1,B_2} (B_{1,2}$ - базисы этих пространств). Показывается, что это отображение - изоморфизм линейных пространств.

Само доказательство у меня есть, хочу понять смысл f. Матрица лин.отображения - это координаты одного базиса в другом. Базисов много. Я так понимаю, что берутся разные базисы в первом пространстве, потом их образы во втором, и составляется матрица.. Это правильно? Что-то не вяжется с гомоморфизмом, он ведь все базисы отображать будет..

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #523685 писал(а):

$f(A)=[A]_{B_1,B_2}$

Что означает эта запись?

Unconnected в сообщении #523685 писал(а):

Матрица лин.отображения - это координаты одного базиса в другом. Базисов много. Я так понимаю, что берутся разные базисы в первом пространстве, потом их образы во втором, и составляется матрица.. Это правильно?

Ну да. Точнее так: берется произвольный базис $B_1$ в $U_1$ и произвольный базис $B_2$ в $U_2$, паре $(B_1,B_2$ ставим в соответствие матрицу.

Unconnected в сообщении #523685 писал(а):

Что-то не вяжется с гомоморфизмом, он ведь все базисы отображать будет..

Я не вижу, что тут не вяжется по-моему, все нормально. Гомоморфизм отображает все матрицы, каждому соотношению между векторами соответствует матрица коэффициентов.

[RIP]

Нет, базисы фиксированы, а меняется линейное отображение. Каждому линейному отображению ставится в соответствие его матрица — получаем изоморфизм между пространствами линейных отображений и матриц. Изоморфизм зависит от выбора базисов: меняются базисы — меняется изоморфизм.

[Unconnected]

Цитата:

Что означает эта запись?

Возможно, связано с матрицей лин. отображения..

Ну смотрите, изоморфизм отображает все элементы первого множества во все элементы второго. В первом много базисов, и все они перейдут в базисы во втором (т.к. изоморфизм). И как от выбора гомоморфизма зависит то, для какой пары базисов составляем матрицу?

И ещё, как это можно представить пространство в виде матриц? Нам это не говорили.. мб это будут матрицы-строки, с координатами векторов в базисе?

[Unconnected]

С изоморфизмом понял - в первом пространстве базис фиксируется) Иначе смысла нет.