касательная плоскость через прямую

[svv]

Это чуть лучше. Уже и точки у Вас относятся к трехмерному пространству.

Но ошибки ещё есть. Вот Вы написали уравнение касательной плоскости:
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
Как Вы знаете, $(A, B, C)$ -- это направляющий вектор плоскости -- которому она перпендикулярна, Вы нашли его как $(2, 4, 0)$.
Но получается, что направляющий вектор касательной плоскости не зависит от точки касания. А может ли так быть?

Подсказка: ошибка здесь:

patriarch писал(а):

получим $(2x_0,4y_0,0)$
то есть $A=2,B=4,C=0$

Может быть, Вы в качестве точки касания подставили $x_0=1, y_0=1$? Ну, тогда это совсем никуда не годится. Разве ж это точка касания?

Итак, вопрос остаётся: найти уравнение касательной плоскости, если точка касания $(x_0, y_0, z_0)$.

[patriarch]

svv
то есть Вы хотите сказать, что не надо в градиент подставлять точки и, соответственно, $A=2x_0, B=4y_0, C=0$

[svv]

Совершенно верно.
И тогда сам градиент, который через миг становится направляющим вектором плоскости, зависит от точки касания $(x_0, y_0, z_0)$ -- но ведь так и должно быть!
Простите за формализм, всё-таки выпишите, что получилось.

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #522864 писал(а):

В чем я не прав?

В том, что $A=2x_0\not=2$, $B=4y_0\not=4$. Точка касания до сих пор неизвестна, а Вы вместо $x_0,y_0$ упорно подставляете (1,1). Безо всяких на то оснований.

-- 04 янв 2012, 16:27:08 --

А, спасибо, svv, что подтолкнули (сразу не заметил вторую страничку).

[patriarch]

ну, я так понимаю градиент в пока что неизвестной точке $(x_0,y_0,z_0)$ будет $(2x_0,4y_0,0)$
а уравнение плоскости тогда $2x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)=0$

[Алексей К.]

Да. Не упростить ли уравнение, не сократить ли на 2, не посмотреть ли, как выглядит то самое $D$?

-- 04 янв 2012, 16:32:26 --

С этим, впрочем можно и подождать.

Начинается самое страшное: наша (заметим, до сих пор неизвестная) плоскость должна целиком содержать некую прямую.

-- 04 янв 2012, 16:34:25 --

Даже не знаю, заморачиваться ли с параметрическим уравнением прямой, или как-то попроще выкрутимся, благодаря тому, что всё вертикально...

Хотелось бы, конечно Ваших соображений на эту тему. Тогда легче будет толкать.

[patriarch]

$x_0x+2y_0y-x_0^2-2y_0^2=0$
Тут $D=-x_0^2-2y_0^2, A=x_0, B=2y_0$
Теперь осталось найти точку касания...

[svv]

Давайте "попроще выкрутимся", как сказал Алексей К., и найдем $x_0$ и $y_0$ из двух условий:
1) точка $(x_0, y_0, z_0)$ лежит на нашем эллиптическом цилиндре,
2) в плоскости лежит прямая $x=1$, $y=1$.

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #522895 писал(а):

Тут $D=-x_0^2-2y_0^2, A=x_0, B=2y_0$

Тут $D=-(x_0^2+2y_0^2)$. Поскольку эта точка принадлежит поверхности, то, посмотрев внимательно на уравнение поверхности, значение D можно упростить.

Цитата:

Теперь осталось найти точку касания...

Теперь надо использовать дополнительное условие про прямую. Раз плоскость содержит прямую, она содержит и любую точку этой прямой. Например, точку $(x=1,\;y=1,\;z=142857143)$.

[patriarch]

ну, я так понимаю
первое уравнение это просто подставить $x_0,y_0$ в наше уравнение поверхности, получим
$x_0^2+2y_0^2=1$
А второе уравнение это подставить в нашу плоскость $x=1,y=1$
$x_0+2y_0-x_0^2-2y_0^2=0$
получим две точки $(-\frac{1}{3},\frac{2}{3}), (1,0)$

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #522904 писал(а):

получим две точки $(-\frac{1}{3},\frac{2}{3}), (1,0)$

Неверно: получим мильён точек касания (точнее, два мильёна), и все их можно записать как $(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},z_0), (1,0,z_0)$, где $z_0$ --- любое число. Т.е. все подходящите точки касания лежат на двух прямых.

Да упростите же найденное уравнение плоскости, упростите это самое D: ещё пригодится. Тем более, что на где-то на первой странице Вы это уже проделали. Правда, неосознанно.

Будь у Вас не цилиндр, а, скажем, сфера $x^2+y^2+z^2-2=0$, была бы одна конкретная такая точка. А могло быть и две, и ни одной. А тут задачка попроще, и оттого Вы запутались.

-- 04 янв 2012, 17:00:08 --

Да, так что там в задачке спрашивалось? Лень взад листать.

[patriarch]

Алексей К.
надо найти уравнение касательной плоскости к нашей поверхности, проходящую чере x=1,y=1.
Ок, после упрощения уравнение плоскости будет такое $x_0x+2y_0y-1=0$

[Алексей К.]

Ну? Так ведь $x_0,y_0$ уже известны! Или Вы уже наизусть выучили, что это вечно неизвестная точка касания?

[patriarch]

то есть будет 2 плоскости $-x+4y-3=0$ и $x-1=0$
Хотя..вторая вроде бы не плоскость, а прямая.

[Алексей К.]

$x-1=0$ --- это плоскость $1x+0y+0z-1=0$.
Например, в этой плоскости лежат точки (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (1,99999,-15) .
Настоятельно советую Вам её нарисовать, представить себе. Можно и нам объяснить, что это за плоскость.
Может, путаница с этими штуками у Вас в голове несколько распутается.

-- 04 янв 2012, 18:00:50 --

А $z=0$ --- это что, не плоскость? Да это лучшая из плоскостей! OXY ещё её называют. По ней электрички ходят, из Серпухова прямо на проспект Сахарова. Я всю жизнь в ней живу, кроме как иногда на самолёте из неё вылетаю.