ошибки у Фихтенгольца

[Oleg Zubelevich]

sergei1961 в сообщении #522726 писал(а):

Не нашли такого утверждения-могу дать точную ссылку на стр и утверждение в статье Беляева

так следовало уже и дать, или хотите чтоб Вас попросили специально?

sergei1961 в сообщении #522726 писал(а):

Известные ранее-можете указать, где результаты его статьи ранее приведены как стандартные в КП

про теорему Абеля уже написал.

sergei1961 в сообщении #522726 писал(а):

Не так просто написать статью в МЗ с известными ранее результатами. Там грамотные люди рецензируют.

это не гарантия ни от чего

[sergei1961]

Хорошо даю ссылку, если возникли затруднения:
работа Беляева цитированная в начале темы, с. 45, следствие 1 (перед теоремой 3)."Если ряд сходится в открытой области, то он сходится в ней абсолютно".
В ответ хотелось бы увидеть конкретные ссылки на теоремы в стандартных или даже любых известных ДО Беляева текстах по КП, где были доказаны результаты из его работы. Я таких не знаю, буду благодарен за информацию. Кстати я не уверен, что 50 лет назад существовала многомерная теория КП в том виде и полноте, как Вы её себе представляете.

[Oleg Zubelevich]

sergei1961 в сообщении #522802 писал(а):

Беляева цитированная в начале темы, с. 45, следствие 1 (перед теоремой 3)."Если ряд сходится в открытой области, то он сходится в ней абсолютно"

Вот это утверждениe является прямым следствием теоремы 1 стр 43 из учебника
Шабат "Введение в комплексный анализ" том 2 (Москва 1976).

sergei1961 в сообщении #522802 писал(а):

ДО Беляева текстах по КП, где были доказаны результаты из его работы.

Это Ваше большое "ДО" не очень убедительно звучит. В статье Беляева список литературы состоит из одного пункта. Если Вы верите в то, что теория степенных рядов началась с этой статьи -- Ваше дело. Я в это не верю.

[sergei1961]

Что теория рядов началась с Беляева-вряд ли это точная передача смысла сказанного мной, скорее Ваша версия, мне кажется, несколько преувеличенная. Там перечислены были три конкретных утверждения, не более того.
Давай о конкретном. В книге Шабата речь идёт о рядах от комплексных переменных. И утвержается абсолютная сходимость в открытой области $C^2$, насколько я понимаю. У Беляева всё вещественно. Я не вижу, как сразу следует одно из другого. Кроме того, сразу предполагается, что раскладываемая функция голоморфна в области. У Беляева рассматривается чистый ряд, о сумме никаких предположений не делается.
Уточнения границ абсолютной сходимости на основании простой сходимости в точке тоже где-то есть? Наверное, именно это основной результат статьи, аналог теоремы Абеля. Про открытое множество-следствие.

[Oleg Zubelevich]

sergei1961 в сообщении #522818 писал(а):

Давай о конкретном

Давайте останемся на "Вы"

sergei1961 в сообщении #522818 писал(а):

И утвержается абсолютная сходимость в открытой области $C^2$, насколько я понимаю. У Беляева всё вещественно. Я не вижу, как сразу следует одно из другого. Кроме того, сразу предполагается, что раскладываемая функция голоморфна в области. У Беляева рассматривается чистый ряд, о сумме никаких предположений не делается.

Во-первых там речь идет не о $\mathbb{C}^2$, а о $\mathbb{C}^n$ (Вы читали текст?) и там написано, что
"область сходимости ряда $\sum_{|k|=0}^\infty c_k(z-a)^k$ является полной областью Рейнхарта с центром в $a$". Это значит, что область в $\mathbb{R}^2$, в которой сходится ряд у Беляева просто содержится в полной области Рейнхарта (принадлежащей $\mathbb{C}^2$), в которой этот ряд (см. Теорема 1) сходится абсолютно.

-- Ср янв 04, 2012 11:37:35 --

sergei1961 в сообщении #522818 писал(а):

Про открытое множество-следствие

замечательно, но почему не сказано, что этот факт, вообще говоря, известен в более общем виде?

-- Ср янв 04, 2012 11:40:00 --

sergei1961 в сообщении #522818 писал(а):

Наверное, именно это основной результат статьи, аналог теоремы Абеля.

про аналог теоремы Абеля см. тоже Шабат том 2, я не сравнивал особенно, но подозреваю, что будет таже история

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Вы не правы. В Шабате областью сходимости степенного ряда называется внутренность (в $\mathbb C^n$) множества точек, в которых ряд сходится при каком-либо порядке следования его членов (определение на стр. 43). Отсюда, в частности, следует, что члены ряда ограничены в области сходимости. Дальше всё тривиально -- признак Вейерштрасса.

В статье Беляева область сходимости -- это просто множество сходимости. Причём под сходимостью ряда понимается существование двойного предела прямоугольных сумм.

По-моему, ниоткуда теоремы Беляева не следуют (из стандартной науки). Он тонкие вопросы рассматривает.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #522824 писал(а):

В статье Беляева область сходимости -- это просто множество сходимости

Угу.
Убедили, однако я всетаки думаю, что разъяснение этих деталей должен приводить автор статьи. Потому, что впечатление складывается... уже объяснил какое. Где и как сходится ряд у Беляева я просто не смотрел, потому что некоторый стандарт в голове сидит.

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Стандарт сходимости двойного ряда -- это абсолютная сходимость, ИМХО. Всё остальное - это уже тонкости.
Но если одной только абсолютной сходимостью ограничиваться, то и не было бы никакой статьи )

[Oleg Zubelevich]

А мне тогда вот, что непонятно. Мы обсуждаем у Беляева утверждение: если ряд сходится в открытой области ($\mathbb{R}^2$) то он сходится в ней абсолютно. И Вы говорите, что эта область не обязана содержаться в области сходимости в смысле Шабата. Формально правильно, а примеры есть?

[sergei1961]

давай, давайте-это просто описка, точнее недописка. Конечно на Вы, это просто был недосмотр, извините. Никакой фривольности не подразумевалось.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #522830 писал(а):

А мне тогда вот, что непонятно. Мы обсуждаем у Беляева утверждение: если ряд сходится в открытой области ($\mathbb{R}^2$) то он сходится в ней абсолютно. И Вы говорите, что эта область не обязана содержаться в области сходимости в смысле Шабата. Формально правильно, а примеры есть?

Будет содержаться, я не говорил, что не будет. Вопрос в том, как доказать, что из сходимости по прямоугольникам следует абсолютная сходимость.

[Oleg Zubelevich]

А это тогда из теоремы 1 следует Шабата.

[Padawan]

Ничего не следует там. Пусть ряд $\sum_{m,n} a_{m,n} x^my^n$ сходится (в смысле Беляева, т.е. по прямоугольникам) в открытой области $D\subset \mathbb R^2$. Что дальше?

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #522838 писал(а):

Ничего не следует там. Пусть ряд $\sum_{m,n} a_{m,n} x^my^n$ сходится (в смысле Беляева, т.е. по прямоугольникам) в открытой области $D\subset \mathbb R^2$. Что дальше?

Сходимость по прямоугольникам разве не соответствует сходимости, которую предполагает Шабат? Если $D$ принадлежит области сходимости в смысле Шабата, то из теоремы 1(Шабат) следует, что в любой точке области сходимости ряд сходится абсолютно.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #522840 писал(а):

Сходимость по прямоугольникам разве не соответствует сходимости, которую предполагает Шабат?

Нет. У Шабата сходимость -- сходимость при каком-либо следовании членов ряда. Отсюда автоматически следует ограниченность членов ряда. А у Беляева первый же пример ряда сходится по прямоугольникам, а члены неограничены.