Проверьте задачу? решение сравнения

[farewe11]

Проверьте, пожалуйста, решение примера. Есть сомнения, в одном месте там. Надеюсь, размер сообщения не отпугнет никого.

$$x^2 \equiv 211\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$$

I. Решим три сравнения таких: $x^2 \equiv 211\pmod{3^2}$, $x^2 \equiv 211\pmod{5}$, $x^2 \equiv 211\pmod{7}$.
1). $x^2 \equiv 211\pmod{3^2}\rightarrow x^2 \equiv 4\pmod{3^2}$.
Сначала решим сравнение это по модулю 3:
$x^2 \equiv 1\pmod{3}\rightarrow x\equiv\pm1\rightarrow x=\pm(3k_1+1)$.
Теперь решим сравнение по модулю 9:
$x^2\equiv 4\pmod{9}\rightarrow 6k_1\equiv 3\pmod {9}\rightarrow k_1=3m+2$.
Подставим это в полученное нами ранее выражение для $x$:
$x=\pm(1+9m+6) \rightarrow x\equiv\pm 7 \pmod{9}\ightarrow x\equiv\pm 2 \pmod{9}$
2). $x^2 \equiv 211\pmod{5}\rightarrow x\equiv\pm1\pmod{5}$
3). $x^2 \equiv 211\pmod{7}\rightarrow x\equiv\pm1\pmod{7}$
II. Отлично, решили сравнения, теперь составим систему:

$$ \begin{cases} x\equiv\pm1\pmod{5}\\ x\equiv\pm1\pmod{7}\\ x\equiv\pm2\pmod{9} \end{cases} $$

С помощью китайской теоремы найдем половину решений; а оставшиеся решения будут противоположны найденным по знаку. Так как всего 8 решений, то найдем 4 каких-нибудь решения. Например, такие:
1). $x\equiv1\pmod{5}\equiv1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
2). $x\equiv-1\pmod{5}\equiv1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
3). $x\equiv1\pmod{5}\equiv-1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
4). $x\equiv-1\pmod{5}\equiv-1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
Чтобы всё это решить, нам придется использовать вычисление мультипликативно обратных чисел, давайте вычислим их заранее:
$7^{-1}\equiv3\pmod{5},7^{-1}\equiv4\pmod{9}, 3^{-2}\equiv4\pmod{5}, 3^{-2}\equiv4\pmod{7}, 5^{-1}\equiv3\pmod{7}, 5^{-1}\equiv2\pmod{9}$.
Приступим к решению.
1). $x\equiv1\pmod{5}\equiv1\pmod{7}\equiv2\pmod{9}$.
$x=1\cdot7\cdot9(7^{-1}\cdot3^{-2}\pmod{5}) + 1\cdot5\cdot9(5^{-1}\cdot3^{-2}\pmod{7})$ + $2\cdot5\cdot7(7^{-1}\cdot5{-1}\pmod{9}) = 63\cdot2+45\cdot5+70\cdot8\equiv911\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
Точно так же найдем остальные 3 решения:
2). $x\equiv659\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
3). $x\equiv209\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
4). $x\equiv461\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
Таким образом, ответ таков:
1). $x\equiv\pm911\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
2). $x\equiv\pm659\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
3). $x\equiv\pm209\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$
4). $x\equiv\pm461\pmod{3^2\cdot5\cdot7}$

Правильно ли это?

[bot]

Верно, но уж очень занудно.
1) По каждому из модулей 5, 7, 9 два решения очевидны, а больше быть не может.
2) Не надо аналогично - лучше заменить $\pm 1, \pm 1, \pm 2 $ на параметры $a,b,c$, откуда по КТО легко получим
$x\equiv 14a-15b+4c \pmod{315}$. Остаётся перебрать 8 возможностей и ответы по модулю 245 можно поменьше выбрать.