ошибки у Фихтенгольца

[sergei1961]

Речь идёт только о трёхтомнике. То что это-прекрасный учебник, я и сейчас так считаю. Долго думал, что ошибок в нём вообще нет (как и опечаток) и это эталон. Вот теперь знаю две. Добавляйте.
1. Основная теорема об области сходимости двойного степенного ряда: лемма на с. 346, т.2, изд. 1970 г. Не то чтобы ошибки в доказательстве, а теорема просто неверна в принципе.
Это утверждение имеет интересную историю. Почти все в него верят и многие используют в работах. Может быть потому, что одномерный аналог для отрезка не подлежит сомнению. Оно как бы было доказано Осгудом и переписано в учебник Гурса, потом и во многие другие. Этот результат был опровергнут В.А.Беляевым в 1963 г.:
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus
На самом деле это видно из картинок, нарисованных ещё Горном для областей сходимости двумерных гипергеометрических рядов (Горна). Все смотрели на эти картинки в книге Бэйтмен-Эрдейи, но не замечали очевидного, что заметил В.А.Беляев.

2. Как указал ewert , есть ошибка в воспроизведении доказательства Гаусса основной теоремы алгебры через двойные интегралы: с. 680-682, т.2. В доказательстве некорректно вводится функция арктангенса от дроби, знаменатель которой может обращаться в ноль.

На самом деле список невелик, и думаю таким и останется, хотя будет очень интересно, если он расширится. Всё это только внушает. Глубокое уважение к Григорию Михайловичу Фихтенгольцу за этото прекрасный учебник. Пусть экстремисты-пуристы учатся по Зоричу, наше всё-это Фихтенгольц.

[mihailm]

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #520412 писал(а):

...Пусть экстремисты-пуристы учатся по Зоричу, наше всё-это Фихтенгольц.

Нормальная книга Фихтенгольца только слишком большая, а времени то у студентов мало!
А почему это наше (или ваше ) все? Полно других хороших книг - и старых и новых (например Кудрявцев и Никольский), это ведь здорово что много отличных книг по матану, выбираешь себе по характеру (некоторым даже Камынин нравится) и проходишь

[sergei1961]

Как любой лозунг-этот тоже имеет некоторый перехлёст, это нормально. Против книг Кудрявцев и Никольский ничего не имею. Просто в них мало примеров, а первая перегружена погоней за иллюзией-формальной строгостью. От определения непрерывности в книге Л.Д. мне страшновато. А так-конечно, пусть будут много и разных. А для меня лично ещё учебники Эйлера-тоже кажутся близко к идеалу, и не только из-за огромного числа рассчитанных со многими знаками примеров, что стало образцом для подобных курсов. У пуристов-свои идеалы. Нормально.

[Ales]

sergei1961 в сообщении #520412 писал(а):

Основная теорема об области сходимости двойного степенного ряда: лемма на с. 346, т.2, изд. 1970 г. Не то чтобы ошибки в доказательстве, а теорема просто неверна в принципе.

Вы уверены в этом?
Мне кажется, что контрпример Беляева не верен.
Ряды у него расходятся: есть члены ряда с большими номерами, но не стремящиеся к нулю.
А Теорема на самом деле верна.

Хотя, наверное, вопрос в корректном определении предела для таких рядов.
Есть ли такое определение у Фихтенгольца? Или надо самому придумывать его исходя из контекста?

[Oleg Zubelevich]

Фихтенгольц -- хорошая книжка, ее надо читать в качестве доп. литературы, но как курс анализа он безнадежно устарел (достаточно в многомерное интегрирование заглянуть). А что касается двойных рядов, имхо, это в приципе неправильно рассматривать такие задачи исключительно в действительной постановке, вне контекста ТФКП. Неадекватная постановка задачи всегда влечет искусственные сложности. Правильное обобщение теоремы Абеля см. Шабат Введение в комплексный анализ том 2

[Ales]

Кажется, до меня дошло:
1. определение суммы двойного ряда у Фихтенгольца отсутствует,
2. контекст противоречив.
Контрпример Беляева укладывается в то, что изложено у Фихтенгольца. Поэтому Беляев прав.

Однако и теорема верна, если к вопросу подойти разумно.

Короче, матан - бред .
Значит критика учебника справедлива, Автор совершенно прав.
В тоже время учебник несомненно хорош. И по нему можно выучиться. Опять Автор прав.

-- Вс янв 01, 2012 14:37:11 --

Oleg Zubelevich в сообщении #521933 писал(а):

Фихтенгольц -- хорошая книжка, ее надо читать в качестве доп. литературы, но как курс анализа он безнадежно устарел (достаточно в многомерное интегрирование заглянуть). А что касается двойных рядов, имхо, это в приципе неправильно рассматривать такие задачи исключительно в действительной постановке, вне контекста ТФКП. Неадекватная постановка задачи всегда влечет искусственные сложности. Правильное обобщение теоремы Абеля см. Шабат Введение в комплексный анализ том 2

Думаю так:
Все курсы анализа, в которых интегрирование не излагается методом дифференциальных форм не годятся.
Все курсы анализа, в которых степенные и тригонометрические ряды рассматриваются только в действительной области не годятся.

Но все сложные курсы анализа, в которых используются комплексные переменные и дифференциальные формы тоже не годятся.
Нет, наверное, к сожалению, легких путей в матане.
(А ведь есть еще и интеграл Лебега, который тоже как-то надо воткнуть.)

[sergei1961]

Действительно, как суммировать двойной или кратный ряд-серьёзный вопрос. Такой же как понимать преобр. Фурье двумерное или кратное. Можно суммировать или интегрировать по квадратам, прямоугольникам, кругам и ещё чёрти как, в принципе будут разные теории.
Теперь заступлюсь за Фихтенгольца. Мне кажется, что у него даётся аккуратное определение суммы двойного ряда (по прямоугольникам) на стр. 363 т.2. Далее для степенных рядов он оговаривается, что будет рассматриваться только абсолютная сходимость.

[Ales]

sergei1961 в сообщении #521942 писал(а):

Действительно, как суммировать двойной или кратный ряд-серьёзный вопрос. Такой же как понимать преобр. Фурье двумерное или кратное. Можно суммировать или интегрировать по квадратам, прямоугольникам, кругам и ещё чёрти как, в принципе будут разные теории.
Теперь заступлюсь за Фихтенгольца. Мне кажется, что у него даётся аккуратное определение суммы двойного ряда (по прямоугольникам) на стр. 363 т.2. Далее для степенных рядов он оговаривается, что будет рассматриваться только абсолютная сходимость.

Точно, есть определение (только, кажется, на стр. 333), хотя оно на мой взгляд сформулировано недостаточно подробно.
Тогда получается, что просто есть пропуск в виде неверного утверждения об ограниченности членов ряда.

Но на мой вкус лучше сразу определять сходимость двойного ряда так, чтобы все члены были ограничены и стремились к нулю по всем направлениям (вверх, вниз, по диагонали). Но может, я не прав.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #521933 писал(а):

А что касается двойных рядов, имхо, это в приципе неправильно рассматривать такие задачи исключительно в действительной постановке, вне контекста ТФКП.

Теория рядов пересекается с ТФКП очень-очень слабо, и к двойным рядам это тоже относится. Вот и обсуждаемый здесь круг вопросов, как мне кажется, решительно ничего степенного в себе не содержит. Хотя наверняка этого сказать невозможно: для этого надо указывать номера никак не страниц, но конкретно пунктов, лемм и теорем.

[Ales]

sergei1961 в сообщении #521942 писал(а):

Действительно, как суммировать двойной или кратный ряд-серьёзный вопрос. Такой же как понимать преобр. Фурье двумерное или кратное. Можно суммировать или интегрировать по квадратам, прямоугольникам, кругам и ещё чёрти как, в принципе будут разные теории.

Пришло в голову, что двойной ряд в отличие от обычного - не конструктивный объект.
Для обычного ряда задан способ его суммирования - члены добавляются в порядке их появления.
А для двойного ряда алгоритм придется придумывать самому.
Предположим что кто-то придумал такой алгоритм, и тогда для него этот двойной ряд станет обычным рядом,
для которого интересна сходимость некоторых (не всех) подпоследовательностей частных сумм.
Что-то вроде суммирования расходящихся рядов.

-- Пн янв 02, 2012 11:13:10 --

ewert в сообщении #522057 писал(а):

Теория рядов пересекается с ТФКП очень-очень слабо

Кроме наиболее интересных для приложений степенных рядов и рядов Фурье.
При этом только в комплексной области можно увидеть,
что ряд Фурье - это тот же самый ряд Лорана, если заменить $w=e^{iz}$.

[sergei1961]

Или простейшего ряда для прогрессии $\frac{1}{1+x^2}$, который без комплексных чисел никогда и не поймёшь, с чего вдруг сходится только до единицы. Ещё ряды Фурье в комплексной форме, или ряды Тэйлора в форме z- преобразований, которые в основном и используются в технических приложениях.
А суммирование-почему непонятно? Есть бесконечная матрица из всех слагаемых. Выберите любой порядок, в котором будете складывать слагаемые (не люблю слово члены в этом контексте)-вот и будет ваш способ суммирования. Обычно принято по прямоугольникам суммировать-столько-то строк берём, в них столько-то столбцов. Вроде всё понятно и чётко.

[ewert]

Ales в сообщении #522161 писал(а):

При этом только в комплексной области можно увидеть,
что ряд Фурье - это тот же самый ряд Лорана, если заменить $w=e^{iz}$.

Далеко не тот же, а лишь очень частный его случай: конкретно на единичной окружности, да и ещё, как правило, являющей границей кольца сходимости. Ну и какой с этого прок для сельского хозяйства, т.е. для рядов Фурье?...

Какой-то, может, и найдётся, да только большинство практически интересных вопросов решаются средствами собственно теории рядов, безо всякой ТФКП.

-- Пн янв 02, 2012 14:14:53 --

sergei1961 в сообщении #522168 писал(а):

Или простейшего ряда для прогрессии $\frac{1}{1+x^2}$, который без комплексных чисел никогда и не поймёшь, с чего вдруг сходится только до единицы.

Запросто поймёшь: теорему Абеля даже в вещественном её варианте никто пока не отменял. Обобщение же её на комплексный случай никакой ТФКП-шной специфики в себе не содержит: ровно то же доказательство, только кое-какие буковки чуть-чуть подправить.

[mkot]

(Оффтоп)

Цитата:

xxxx: Матмех отзывает 500 000 своих выпускников. Причина отзыва: во втором томе Фихтенгольца на странице 187 в формуле XVIII.56 отсутствует нормирующий оператор

http://bash.org.ru/quote/406388

[ewert]

(Оффтоп)

mkot в сообщении #522177 писал(а):

Матмех отзывает 500 000 своих выпускников.

Байка известная, но справедливости ради отметим: для отзыва ему понадобится что-то порядка полутора тысяч лет.

[Ales]

ewert в сообщении #522174 писал(а):

Далеко не тот же, а лишь очень частный его случай: конкретно на единичной окружности, да и ещё, как правило, являющей границей кольца сходимости. Ну и какой с этого прок для сельского хозяйства, т.е. для рядов Фурье?...

Какой-то, может, и найдётся, да только большинство практически интересных вопросов решаются средствами собственно теории рядов, безо всякой ТФКП.

А я думаю, что это полезно:
люди разбирают ряды Лорана на ТФКП и ряды Фурье на матане (функане), не обращая внимания, на то, что это одно и тоже. Можно бы было сэкономить время и получить лучшее понимание.
И метод нахождения коэффициента при ряде Фурье - это как раз интегрирование для нахождением вычета.
Тогда сразу понятно, что ряд Фурье для аналитической функции сходится с экспоненциальной скоростью - ведь функция аналитична в кольце, содержащем окружность (Теорема Абеля). И коэффициенты при ряде Фурье у аналитической функции убывают с экспоненциальной скоростью.