Поверхностный интеграл 1-го порядка

[Dmitryy]

Найти интеграл $\int \limits_S xyz\,dS$, где $S$ является верхней частью $(0\leq z \leq 3)$ конуса $z = \sqrt{x^2+y^2}$

В общем, как бы я не решал, я получаю ответ 0, может это правильно из-за такой симметричной функции плотности $xyz$. Допустим, будем интегрировать по $dx dy$. Тогда после взятия производных и возведения в квадрат получим:

$$\int \limits_{D_{xy}} xy\sqrt{x^2+y^2} \sqrt{1+\frac {x^2} {x^2+y^2}+\frac {y^2} {x^2+y^2}}\,dx\,dy$$

После сокращений получаем:

$$\int \limits_{D_{xy}} xy\sqrt{2(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$

Перейдем в полярные координаты с границами $(0\leq r \leq 3)$ и $(0\leq \varphi \leq 2\pi)$:

$$\int \limits_{D_{xy}} r^2 \cos\varphi\, \sin\varphi \sqrt{2(r^2 \cos^2 \varphi+r^2 \sin^2\varphi)}\,r\,dr\,d\varphi = \int \limits_{D_{xy}} r^4 \sqrt2 \cos\varphi\, \sin\varphi \,dr\,d\varphi$$ = \int \limits_{D_{xy}} \frac12 r^4 \sqrt2\sin2\varphi \,dr\,d\varphi = \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^3 \frac12 r^4\sqrt2 \sin2\varphi\,dr = 0$$

Правильно? А то меня смущает нулевая масса...
П.С. как вставлять двойные, тройные интегралы?

[svv]

Выкладки не проверял, ответ правильный. Как Вы и сказали -- из-за симметрии.
Нулевая "масса" может смущать, если плотность всюду положительна, у Вас это не так.
Интерпретации интеграла как массы мешает 1) знакопеременность подынтегральной функции и 2) то, что он поверхностный, а не объемный (это непринципиальное замечание: есть понятие "поверхностная плотность").

Dmitryy писал(а):

П.С. как вставлять двойные, тройные интегралы?

Общий ответ: зайдите в соответствующую статью в Википедии, там формулы в $\TeX$е, можно посмотреть коды.
Как узнать, какие коды применил опытный участник в заинтересовавшей Вас фомуле здесь, на форуме -- Вы знаете (сам я знаю 3 способа).

[Dmitryy]

Спасибо Вам за разъяснения!

[Someone]

Ой, а почему-то в темах, посвящённых набору формул (http://dxdy.ru/topic183.html и http://dxdy.ru/topic8355.html), о кратных интегралах ничего не сказано. А специальные значки есть: $\int$, $\iint$, $\iiint$, $\iiiint$.