Целые корни полиномов

[mihiv]

Задача в продолжение темы http://dxdy.ru/topic52713.html%20url

Пусть полином $f(x)$ с целыми коэффициентами имеет более двух целых корней,доказать,что полиномы $g(x)=f(x)\pm 1$ не имеют целых корней.

[nnosipov]

mihiv в сообщении #519675 писал(а):

Пусть полином $f(x)$ с целыми коэффициентами имеет более двух целых корней,доказать,что полиномы $g(x)=f(x)\pm 1$ не имеют целых корней.

Кажется довольно очевидным: ведь непостоянная линейная функция не может принимать значения $\pm 1$ в трёх различных точках.

[Dave]

nnosipov в сообщении #519781 писал(а):

Кажется довольно очевидным: ведь непостоянная линейная функция не может принимать значения $\pm 1$ в трёх различных точках.

Не понял, о какой функции идёт речь. Если o $g(x)$, то никто ведь не говорит, что она должна иметь корни в тех же точках, что и $f(x)$.

[mihiv]

Поправка в условие:"Пусть полином $f(x)$ c целыми коэффициентами имеет более двух различных целых корней."
nnosipov,поясните,почему Вы говорите о линейной функции,ведь степень полинома $>2$.

[Dave]

Пусть полином $f(x)$ с целыми коэффициентами имеет минимум три различных целых корня $a_1, a_2, a_3$. Тогда его можно представить в виде $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)P(x)$, где $P(x)$ - многочлен с целыми коэффициентами. Значит если какой-либо $g(x)$ имеет хотя бы один целый корень $b$, то $f(b)=g(b) \mp 1= \mp 1$, т.е. $(b-a_1)(b-a_2)(b-a_3)P(b)= \mp 1$, причём число $P(b)$ - целое, как и числа $b-a_1,b-a_2,b-a_3$. Но это означает, что все сомножители равны $\pm 1$, поэтому минимум два из чисел $b-a_1,b-a_2,b-a_3$ равны. Берём их разность и получаем, что $a_i=a_j$ при $i \ne j$, а это противоречит предположению о различности этих чисел.

-- 25.12.2011, 20:19 --

Естественно, в условии должно звучать, что корни различны, я так и предполагал с самого начала. Иначе (т.е. когда корни считаются с учётом кратности) утверждение неверно, взять хотя бы $f(x)=x^3$.

[nnosipov]

Dave в сообщении #519802 писал(а):

Не понял, о какой функции идёт речь. Если o $g(x)$, то никто ведь не говорит, что она должна иметь корни в тех же точках, что и $f(x)$.

mihiv в сообщении #519803 писал(а):

nnosipov,поясните,почему Вы говорите о линейной функции,ведь степень полинома $>2$.

Пусть $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)q_1(x)$ и $f(x) \pm 1=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)q_1(x) \pm 1=(x-a)q_2(x)$. Тогда линейная функция $l(x)=x-a$ при $x=a_i$ принимает значения $\pm 1$.

[ewert]

nnosipov в сообщении #519951 писал(а):

$f(x) \pm 1=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)q_1(x) \pm 1=(x-a)q_2(x)$. Тогда линейная функция $l(x)=x-a$ при $x=a_i$ принимает значения $\pm 1$.

Мне буквально это фраза непонятна. Я бы сказал иначе: при подстановке любого из старых корней слева получится плюс-минус единица. Справа же множитель $(x-a)$ будет принимать три разных целых значения и, следовательно, хотя бы одно из них окажется либо по модулю больше единицы, либо нулевым (неважно, что последнее фактически невозможно). В любом случае справа плюс-минус единицы при этом не выйдет, т.к. второй множитель справа -- тоже целый.

[TOTAL]

Если $(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)q_1(x) \pm 1=(x-a)q_2(x),$
то $(a-a_1)(a-a_2)(a-a_3)q_1(a) \pm 1=0,$ чего не может быть.

[Yu_K]

Цитата:

А вот нерешенная: для каких степеней n существуют два многочлена степени n с целыми коэффициентами, у каждого из которых n различных целых корней, и разность которых - константа?

http://flaass.livejournal.com/538065.html