Верхний и нижний пределы последовательности

[Dosaev]

Для последовательности ${x_n}$ найти $\overline{\lim_{n\to\infty}}x_n$, $\underline{\lim_{n\to\infty}}x_n$, а также $\sup{{x_n}}, \inf{{x_n}},$ если $x_n$ равно

$\frac{((-1)^n-1)n^2 + n + 1}{n}$

Мне кажется, что если выделить подпоследовательность с четными номерами n = 2k, тогда предел ее будет 1. Он будет являтся нижним? Как доказать?

-- Ср ноя 23, 2011 21:37:40 --

Сверху она ограничена 2, а вот снизу по моему вообще неограничена....
?

[Полосин]

Доведите идею до конца: рассмотрите подпоследовательности с четными и нечетными номерами по отдельности.

[Dosaev]

Скобка ((-1)^n-1) может принимать только два значения: 0 при четных и -2 при нечетных. С нижним пределом я разобрался, это 1.А вот с верхним нет. То есть, если мы будем брать нечетные номера, то мы получим -2n +... +1/n и ясно что эта подпоследовательность не сходится. Что делать?

[Полосин]

Она не просто расходится, она ведет себя вполне определенным образом - каким?

[Dosaev]

Если номера нечетные, то есть вместо n я подставляю 2k+1. В итоге получаю $\frac{-8k^2-6k}{2k+1}$. Если все поделить на $k^2$ то получим $\frac{-8-\frac{6}{k}}{\frac{2}{k} + \frac{1}{k^2}}$. Тогда предел от этой дроби $\infty$. Правильно?

[Полосин]

$-\infty$.

[Dosaev]

Разобрался, спасибо вам!!

[ewert]

Dosaev в сообщении #507179 писал(а):

Разобрался,

А Вы уверены, что вполне разобрались?... Чему супремум-то равен?...

[Dosaev]

ewert в сообщении #507194 писал(а):

А Вы уверены, что вполне разобрались?... Чему супремум-то равен?...

ewert, да спасибо, что напомнили, я уж совсем и забыл про вторую часть задания. Вот думаю. Опять же рассматриваю две последовательности: когда с четными и когда с нечетными номерами. Когда с четными номерами, тогда супремум равен 2. А когда с нечетными: то раскладываем как $(-4k-1)+ \frac{1}{2k+1}$. И ясно что она неограничена снизу. Вот..Поэтому я не знаю каков инфинум, но супремум равен 2, потому что 2 ограничивает сверху как первую, так и вторую подпоследовательность.

[Null]

Инфинум у неограниченных снизу множеств полагают равным $-\infty$

[gris]

Последовательность ограничена сверху как двойкой, так и пятёркой, и десяткой, но при чём тут супремум? Это же точная верхняя грань.

[RIP]

(Оффтоп)

Не "инфиНум", а инфиМум.

[gris]

(2 RIP)

RIP, если инфимум равен минус инфинити, то его пишут "инфинум"

[Dosaev]

Прошу прощения за столь позднее возвращение к этой теме, но у меня возник вопрос: почему для нас интересны лишь подпоследовательности с четными и нечетными номерами? А не найдется ли другая подпоследовательность, у которой предел будет больше/меньше предела четной/нечетной подпоследовательности?

[Henrylee]

Не найдется. Эти две подпоследовательности полностью исчерпывают исходную последовательность. Никаких "лишних" членов не остается.
Если конкретнее, предположим, такая подпоследовательность с неким "третьим" пределом найдется. Часть ее членов будет из подпоследовательности с нечетными номерами, другая часть - из подпоследовательности с четными. К примеру, ей принадлежит бесконечное число членов подпоследовательности $x_{2k}$ и конечное число членов из $x_{2k-1}$. Тогда ее предел совпадает с пределом подпоследовательности $x_{2k}$, что противоречит предположению оригинальности ее предела. Второй случай аналогично. Случай, когда она состоит из бесконечного числа членов обеих подпоследовательностей, мы не рассматриваем, так как такая подпоследовательность предела не имеет.