Верхний и нижний пределы последовательности

[Dosaev]

Неубедительно. Как понять исчерпывают? То есть вы хотите сказать, что все остальные подпоследовательности включаются в эти две?

[Henrylee]

Я дополнил свой ответ. Смотрите выше.

[Dosaev]

Henrylee в сообщении #519522 писал(а):

Случай, когда она состоит из бесконечного числа членов обеих подпоследовательностей, мы не рассматриваем, так как такая подпоследовательность предела не имеет.

Потому что числовая последовательность (подпоследовательность) не может иметь более одного предела?

[Henrylee]

Dosaev в сообщении #519527 писал(а):

Henrylee в сообщении #519522 писал(а):

Случай, когда она состоит из бесконечного числа членов обеих подпоследовательностей, мы не рассматриваем, так как такая подпоследовательность предела не имеет.

Потому что числовая последовательность (подпоследовательность) не может иметь более одного предела?

Это здесь ни при чем. Потому что полученная подпоследоватлеьность имеет как минимум 2 разных частичных предела. Т.е. предела нет. А мы предполагали, что он есть (некий третий).

[Dosaev]

Да, ясно спасибо!

[Dosaev]

Помогите пожалуйста найти sup! Ясно что это супремум четной подпоследовательности. То что она ограничено сверху 3/2 также ясно. Но по определению верхней грани надо также показать что $\forall \varepsilon > 0 \exists k_{\varepsilon} \in N: x_{k_{\varepsilon}} > b - \varepsilon}$. То есть в нашем случае
$\forall \varepsilon > 0 \exists k_{\varepsilon} \in N: 1+\frac{1}{2k} > \frac{3}{2} - \varepsilon$
Что теперь выражать из неравенства k, брать целую часть и принять $k_{\varepsilon}$?

[ewert]

Dosaev в сообщении #519575 писал(а):

Но по определению верхней грани надо также показать что

Не надо ничего показывать. Супремум -- это обобщение понятия максимума. Т.е. если у множества, в частности, есть максимум -- то он и есть супремум.

[Dosaev]

Нет, надо как бы показать что не 100 например явл-ся супремум, хотя оно также ограничивает сверху это множество, а именно 3/2. вот в чем проблема.

[ewert]

Ещё раз: "Сударыня, Вас обманули, Вам дали гораздо лучший мех: это шанхайские барсы!".

Если среди элементов множества (в данном случае членов последовательности) есть максимальный, то он тем более является супремумом. А у Вас максимальный элемент есть.

[Dosaev]

Это посл-ть убывающая, все ясно, спасибо.