Ряд Фурье. Коэффициенты

[number_one]

Разложить в ряд Фурье, функцию $f(x)=3x-8$

с периодом $x\in(0;5,5)$

Есть несколько вопросов.

1) Чему равно значение

$S(0)$? тут ведь терпится разрыв...

$S(6,6)$ в силу периодичности $S(6,6)=S(1,1)$?

Не понятно -- какая будет формула для $a_n$.

Есть три варианта у меня.

$a_n= \frac{1}{5,5}\int\limits_{0}^{5,5}(3x-8)\cos(\frac{\pi nx}{5,5})dx$

$a_n= \frac{2}{5,5}\int\limits_{0}^{5,5}(3x-8)\cos(\frac{\pi nx}{5,5})dx$

$a_n= \frac{2}{5,5}\int\limits_{0}^{5,5}(3x-8)\cos(\frac{\pi nx}{5,5/2})dx$

Вот общая формула

$a_n= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos(\frac{\pi nx}{l})dx$

У нас $l=5,5$, но интегрирование идет с нуля, поэтому и возникают вопросы.

[ИСН]

Какой ряд. Рядов Фурье много разных.

[number_one]

ИСН в сообщении #519121 писал(а):

Какой ряд. Рядов Фурье много разных.

Просто задание -- разложить в ряд фурье...

[Утундрий]

number_one в сообщении #519119 писал(а):

но интегрирование идет с нуля, поэтому и возникают вопросы

Интегрирование идёт по периоду. До сдвига переменной додумайтесь сами. Уж.

[number_one]

Утундрий в сообщении #519126 писал(а):

Интегрирование идёт по периоду. До сдвига переменной додумайтесь сами. Уж.

Думаю, что $l=\frac{11}{4}$

Тогда

$a_n= \frac{4}{11}\int\limits_{0}^{5,5}(3x-8)\cos(\frac{4\pi nx}{11})dx$

Правильно?

Но все равно не понятно про $S(0)$ Чему же равна эта штучка?

[number_one]

Как я понял, что нужно пользоваться тем, что $f(x)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}2$

Ну еще в этом задании нужно разложить по синусам, по косинусам , построить график, это я чуть позже сделаю!

[ewert]

number_one в сообщении #519119 писал(а):

Вот общая формула

$a_n= \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^{l}f(x)\cos(\frac{\pi nx}{l})dx$

number_one в сообщении #519151 писал(а):

Ну еще в этом задании нужно разложить по синусам, по косинусам

Ну Вы уж ответьте (самому себе) на вопрос:

ИСН в сообщении #519121 писал(а):

Какой ряд. Рядов Фурье много разных.

[number_one]

ewert в сообщении #519157 писал(а):

Ну Вы уж ответьте (самому себе) на вопрос:

Сначала нужно вот разложить в такой ряд фурье

1) $f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos \frac{\pi nx}l + b_n \sin \frac{\pi nx}l)$

потом в такой

2) $f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} a_n \cos \frac{\pi nx}l$

потом в такой

3) $f(x)=\sum^{\infin}_{n=1} b_n \sin \frac{\pi nx}l$



Я сначала пытался разложить в ряд фурье 1) и писал формулы для него

Мне кажется, что эта больше похожа на правду!

$a_n= \frac{4}{11}\int\limits_{0}^{5,5}(3x-8)\cos(\frac{4\pi nx}{11})dx$

[number_one]

Про разложение в ряд $f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos \frac{\pi nx}l + b_n \sin \frac{\pi nx}l)$

Не могу понять -- чему равно $S\Big(-\dfrac{14}{3}\Big)$

$-\dfrac{14}{3}=-4,(6)$

Если у нас было $y=3x-8$ при $x\in [0;5,5]$

То $y=3x-8+11=3x+3$ при $x\in[-5,5;0]$

$S\Big(-\dfrac{14}{3}\Big)=3\cdot \Big(-\dfrac{14}{3}\Big)+3=-14+3=-11$

Но это значение странное, тк $y$ должен быть $y\in[-8;8,5]$

[number_one]

Значит я написал то, что ни в какие ворота не лезет

[Sefko]

number_one!
Что-то как-то у Вас здесь запутано то, что вроде как запуть-то и нельзя (подозреваю, что запутывание произошло не без помощи того, кто давал задачу, но это мы обсуждать не будем).

1. У Вас есть функция, заданная на интервале [0, 5.5]. Требуется разложить ее в ряд Фурье. Формулы для коэффициентов Вам известны - в чём проблема? Что Вам далась какая-то $S(0)$? Я даже не спрашиваю Вас, кто она такая и откуда она взялась. Кстати, эту, не побоюсь этого слова, придурочную привычку, навязываемую по умолчанию не знаю уж кем, использовать в качестве десятичного разделителя запятую, Вы все же бросайте.
Да, так вот, если Вы честно возьмете интегралы, то у Вас получится сумма, представляющая периодическую функцию, с периодом 5.5. Все! И не надо Вам думать о разрывах - они там сами собой появятся.

2. Предположим, что у Вас есть функция, заданная на интервале [-5.5, 5.5] и симметричная относительно нуля.
В этом случае все коэффициенты при синусах обратятся в ноль. А для расчета коэффициентов при косинусах достаточно использовать значения функции только на интервале [0, 5.5]. Соответствующим образом модифицированная формула у Вас тоже есть. Если Вы честно возьмете интегралы (на самом деле они уже взяты в п.№1), то у Вас получится сумма, представляющая периодическую функцию, с периодом 11.

3. То же, что и в п.№2, но теперь функция антисимметричная относительно нуля.
В этом случае все коэффициенты при косинусах обратятся в ноль. А для расчета коэффициентов при синусах достаточно использовать значения функции только на интервале [0, 5.5]. Соответствующим образом модифицированная формула у Вас тоже есть. Если Вы честно возьмете интегралы (на самом деле они уже взяты в п.№1), то у Вас получится сумма, представляющая периодическую функцию, с периодом 11, как и в п.№2.

И забудьте (временно - для других задач может потребоваться) о разрывах. И о непонятной $S(...)$ тоже забудьте.

[ewert]

Sefko в сообщении #521061 писал(а):

У Вас есть функция, заданная на интервале [0, 5.5]. Требуется разложить ее в ряд Фурье. Формулы для коэффициентов Вам известны - в чём проблема? Что Вам далась какая-то $S(0)$?

Она ему не далась,она ему дадена по условию. Ибо в этом случае в данной точке и впрямь разрыв (который ТС явно ровно так и понимает), и вопрос был -- именнно на именно этот ньюанцец теоремы Дирихле или аналогичной.

Sefko в сообщении #521061 писал(а):

Кстати, эту, не побоюсь этого слова, придурочную привычку, навязываемую по умолчанию не знаю уж кем, использовать в качестве десятичного разделителя запятую,

Кстати, у нас, в Рассее, эта придурочная привычка и общепринята. Хотя мы гибки; мы вполне готовы принять даже и не менее общепринято идиотскую англосаксскую привычку. Мы толерантны; нам не важно,какого цвета кошка.

[Sefko]

ewert в сообщении #521150 писал(а):

Она ему не далась,она ему дадена по условию. Ибо в этом случае в данной точке и впрямь разрыв (который ТС явно ровно так и понимает), и вопрос был -- именнно на именно этот ньюанцец теоремы Дирихле или аналогичной.

В условиях задачи нет никаких следов буквы $S$. И терема Дирихле - какую бы из них Вы не имели бы в виду - не при делах. Потому как в задаче не предлагается суммировать ряд Фурье, или исследовать его сходимость. Только его построить! Все! Вот на этот нюанс я и хотел обратить внимание в своем сообщении.

ewert в сообщении #521150 писал(а):

Кстати, у нас, в Рассее, эта придурочная привычка и общепринята. Хотя мы гибки; мы вполне готовы принять даже и не менее общепринято идиотскую англосаксскую привычку. Мы толерантны; нам не важно,какого цвета кошка.

Толерантность, прошу прощения, несколько вынужденная. Потому как если не быть толерантным, то перво-наперво мы без штанов останемся. Все эти "брюки", "шаровары", "кальсоны", "трусы", ... не славянского происхождения. Да и само слово "штаны" появилось в русском языке незнамо откуда аж во второй половине XVIII века.

Времена меняются и им надо как-то соответствовать.
Когда-то числа появлялись в тексте либо изолированно, либо большими группами. Ни в первом, ни во втором случае запятая не вызывала недоразумений, так как большие группы оформлялись в виде таблиц. Некоторые неудобства с небольшими группами чисел (вектора, например) как-то обходились. Кстати, интересно было бы проследить, как именно. Ведь неудобно писать $f(x,y)$, но $f(1,2;3,5)$.

Все стало много хуже с распространением языков программирования. В текстах программ перечисления существенно больше распространены, чем в естественном языке. А привычный разделитель в перечислениях - даже в тех странах, где десятичный разделитель запятая - та же запятая.

Что мы имеем сейчас?
Открываем локализованный Excel.
Пишем в ячейку 1.2 - воспринимается как текст.
Пишем в ячейку 1,2 - воспринимается как число.
Сочиняем макрос:

Sub xxx()
  Dim x; y
  Cells(1; 1) = 1,2
End Sub

Фигвам получается - не понимает. А если так?

Sub xxx()
  Dim x, y
  Cells(1, 1) = 1.2
End Sub

Понимает.
Ну и зачем эти приключения? Мало перевода имен функций рабочего листа на русский язык (хорошо хоть у умельцев не хватило фантазии на перевод синусов и косинусов; ABS тоже повезло - не так, как MIN и MAX).

Применительно к данной ветке. Что имеется в виду здесь?

number_one в сообщении #519119 писал(а):

$S(6,6)$ в силу периодичности $S(6,6)=S(1,1)$?

Обратите внимание - редактор формул автоматически нарисовал пробел после запятой, хотя в исходной формуле пробела нет.
Чуток напрягая мозг из контекста понять можно. Но зачем без нужды напрягать мозг читателя сообщения?

[Someone]

Sefko в сообщении #521272 писал(а):

Обратите внимание - редактор формул автоматически нарисовал пробел после запятой, хотя в исходной формуле пробела нет.

Дык, Вы пишите десятичную запятую так: 1{,}1. И никакого пробела после запятой: $1{,}1$ супротив $1,1$. И будете отличать десятичную запятую от запятой-разделителя при перечислении.

[Sefko]

Someone в сообщении #521280 писал(а):

Дык, Вы пишите десятичную запятую так: 1{,}1. И никакого пробела после запятой: $1{,}1$ супротив $1,1$. И будете отличать десятичную запятую от запятой-разделителя при перечислении.

Правильный совет.
Но лично я, в качестве разделителя целой и дробной части числа, все же буду продолжать писать точку, а не запятую. И тем, кто любит писать запятую, советую изменить эту привычку, а не упражняться с запятой.

Тут такое дело.
Запятую могут не понять, или понять неправильно. А вот точку... Лично я, еще в те уже давние времена, когда персональных компьютеров не было, а СССР был, не из злобности характера, но просто по привычке, во всяких платежных документах, где нужно было написать сумму числом, перед копейками ставил точку, а не запятую. И ни разу, ни одна дева, принимающая бумажку, не обратила на это ни малейшего внимания.
Всякие врачи и психологи, получая распечатку обработанных данных, никак не смущались, видя разделитель-точку.
Можно было бы примеры продолжить, но...
Обсуждение запятой уже как-то начинает смахивать на злостный off topic. Прошу меня извинить - больше не буду.